四.(10分)计算二重积分∫(+xd,这里Dx+5(-x)s√2 解: 五.(10分)求微分方程3y(+x)-x+21+xos{2)=0的一个通解。 解:y=0是显然的解。设y≠0,令u=y3,原方程化为下面的一阶线性方程 x2)-x+2xcos2x√/l+x2=0。 其通解为n=C-xsin2x-osxh+x2,其中C是一个任意常数。原方程的通 解为y3=C-xsin2x-cos2x/1+x2 入(m0分)判断级数立(1)的收敛性,并给出详细理由 解:当 n→+ 时 In =nIn/i-In +Inn= Inn 1(In n +lnn→0 n In 所以 →1,因此,由正项级数的比较判别法,题中级数发散。 七,(0分)将/()=在(x)上展开成 Fourier级数,并求级数∑上与级 数∑的和 解:x2 4>61 coS x x2 四．（10 分）计算二重积分     D y x dxdy 2 ，这里   2 2 1 : 2 2 D x  y  x  。 解：  2 1 。 五．(10 分) 求微分方程 3 1  2 1 cos2  0 3 2 4 2   xy  xy  x x  dx dy y x 的一个通解。 解： y  0 是显然的解。设 y  0 ，令 3 u  y ，原方程化为下面的一阶线性方程 1  2 cos 2 1 0 2 2   xu  x x  x  dx du x 。 其通解为 2 cos 2 1 2 1 u C xsin 2x x  x         ，其中 C 是一个任意常数。原方程的通 解为 3 2 cos 2 1 2 1 y C xsin 2x x  x         。 六．（10 分）判断级数 n n n n           1 ln 1 的收敛性，并给出详细理由。 解：当 n  时， ln 0 ln ln 2 ln 1 ln ln ln 1 1 ln 1 ln 2 2                                                         n n n o n n n n n n n n n n n n n ， 所以 1 1 ln 1                       n n n n ，因此，由正项级数的比较判别法，题中级数发散。 七．（10 分）将   2 f x  x 在 (,) 上展开成 Fourier 级数，并求级数       1 2 1 n n n 与级 数   1 4 1 n n 的和。 解：         1 2 2 2 cos 1 4 3 n n nx n x  ， x,