第1期 减鸿雁等：基于离散混沌系统广义同步定理的数字图像加密方案 .97 其中， Fm(X(k))-q(Xm(k),Y(k)), X(k)=(x1(k),x2(k),,xn(k)∈R,Y(k)∈Rm 即 Xm(k)=(x1(k).x2(k)....xm())T.mn Y(k+1)=G(Y(k),Xm(k))= (6) HFm(X(k)一q(Xm(k),Y(k))·(证毕) F(X())=(f1(X()).f(X()).(()))T 2离散广义混沌同步系统 (7) G(Y(k),Xm(k))=(gi(Y(k),X(k)), 利用定理1构造一个新的离散广义混沌同步系 g2(Y(k).Xm(k),k)..gm(Y(k),X(k)))T 统·设离散混沌系统X(k十1)=F(X(k)为广义 (8) Henon映射)，其形式为： 系统(4)称为驱动系统，系统(5)称为响应系统，若 x1(k1)=1+x2(k)-axi(k) 存在一个映射H:Rm→Rm和开集B=B.XB,C x2(k十2)=bx1(k)十x3(k) (11) RXRm,使得当初始条件(X(O),Y(O)∈B时， x3(k+1)=一bx1(k) 系统(4)和(5)的解(X(k),Y(k)满足： 在a=1.08,b=0.3,x1(1)=1,x2(1)=1, Iim‖Xm(k)-H'(Y(k)‖=0 (9) x3(1)=1时能产生混沌轨道，构造一个可逆变换 则称响应系统(5)与驱动系统(4)关于H在B上广 H(X(k)=(y1(k),y2(k),y3(k)如下： 3 义混沌同步.若H(X(0),Y(0)∈R×R,式(9) 均成立，则称系统(4)与(5)关于H大范围广义混沌 (4a()十a()-10s(》 y1(k)=厂 同步， )=t)-7() 在文献[13]中，提出了一个构造连续混沌系统 广义同步定理，基于该定理设计了数字图像隐藏方 (k)=5(1(k)十xz()一4xs() 案5,14.1可.在文献[1315]的工作基础上，本文提出 离散混沌系统广义同步定理. (12) 定理1设X,Xm,Y,F(X)及G(Y,X)由式 则H的逆映射V为： (4)~(8)定义，HRm→Rm是可逆变换，且Xm= x1(k)=(yi(k)十2y2(k)-y3() V(Y)=H(Y),假如式(4)与(5)关于H是广义 x2(k)=(3yi(k)+2y2(k)+4y3(k)(13) 混沌同步，那么式(5)中的G(Y,X)可写成以下形 x3(k)=(yi(k)十y2(k) 式： 取 G(Y(k),X ()) g(x()()=ge()=日(X()-v(Y()= H(F (X(k))-q(X(k),Y(k))), 其中，Fm(X(k)=(f1(X(k),f2(X(k),…, x1(k)一(yi(k)+2y2(k)一y3(k) 1 fm(X(k))且函数q(Xm（k),Y（k)= x2(k)一(3yi(k)+2y2(k)+4y(k) (q1(Xm(k),Y(k)q2(Xm(k),Y(k),…, x3(k)-(yi(k)+y2(k) (14) qm(Xm(k),Y(k))使得误差方程 则 e(k+1)=Xm(k+1)-V(Y(k+1)(10) e(k+1)=(1/8)k+1e(0). 零解渐近稳定， 因此，离散系统(14)大范围零解渐近稳定，令响应 证明令 系统 e(k+1)=xm(k+1)-V(Y(k+1)= Y(k+1)=G(Y(k),X(k))= X (k+1)-H(Y(k+1))=q(xm(k),Y(k)). H(F(X(k))-q(x(k).Y(k)))(15) 因条件(9)成立，故q(Xm(k),Y(k)使误差方程 则由定理1，系统(11)和(15)关于H大范围广义混 (10)零解渐近稳定，且有 沌同步.由(11)和(14)可解出： V(Y(k+1))=xm(k+1)-q(X(k),Y(k))= F(x(k))-q(Xm(k),Y(k))=其中‚ X（ k）＝（ x1（ k）‚x2（ k）‚…‚x n（ k）） T∈R n‚Y（ k）∈R m Xm（ k）＝（ x1（ k）‚x2（ k）‚…‚xm（ k）） T‚m≤ n （6） F（ X（ k））＝（ f1（ X（ k））‚f2（ X（ k））‚…‚f n（ X（ k））） T （7） G（ Y（ k）‚Xm（ k））＝（ g1（ Y（ k）‚Xm（ k））‚ g2（ Y（ k）‚Xm（ k）‚k）‚…‚gm（ Y（ k）‚Xm（ k））） T （8） 系统（4）称为驱动系统‚系统（5）称为响应系统．若 存在一个映射 H∶R m→R m 和开集 B＝ Bx × By ⊂ R n×R m‚使得当初始条件（ X（0）‚Y （0））∈ B 时‚ 系统（4）和（5）的解（X（ k）‚Y（ k））满足： limk→∞ ‖Xm（ k）－ H －1（ Y（ k））‖＝0 （9） 则称响应系统（5）与驱动系统（4）关于 H 在 B 上广 义混沌同步．若∀（X（0）‚Y（0））∈R n×R n‚式（9） 均成立‚则称系统（4）与（5）关于 H 大范围广义混沌 同步． 在文献［13］中‚提出了一个构造连续混沌系统 广义同步定理‚基于该定理设计了数字图像隐藏方 案［5‚14‚15］．在文献［13－15］的工作基础上‚本文提出 离散混沌系统广义同步定理． 定理1 设 X‚Xm‚Y‚F（ X）及 G（ Y‚X）由式 （4）～（8）定义‚H∶R m→R m 是可逆变换‚且 Xm＝ V（Y）＝ H －1（ Y）‚假如式（4）与（5）关于 H 是广义 混沌同步‚那么式（5）中的 G（ Y‚X）可写成以下形 式： G（Y（ k）‚Xm（ k））＝ H（Fm（X（ k））－q（Xm（ k）‚Y（ k）））‚ 其中‚Fm （ X（ k））＝（ f1（ X（ k））‚f2（ X（ k））‚…‚ f m（X（ k））） T 且 函 数 q （ Xm （ k ）‚Y （ k ）） ＝ （ q1（Xm（ k）‚Y （ k ））‚q2（Xm（ k）‚Y （ k ））‚…‚ qm（Xm（ k）‚Y（ k））） T 使得误差方程 e（ k＋1）＝Xm（ k＋1）－V（ Y（ k＋1）） （10） 零解渐近稳定． 证明 令 e（ k＋1）＝Xm（ k＋1）－V（ Y（ k＋1））＝ Xm（ k＋1）－ H －1（ Y（ k＋1））＝q（Xm（ k）‚Y（ k））． 因条件（9）成立‚故 q（ Xm （ k）‚Y （ k））使误差方程 （10）零解渐近稳定‚且有 V（Y（ k＋1））＝Xm（ k＋1）－q（Xm（ k）‚Y（ k））＝ Fm（X（ k））－q（Xm（ k）‚Y（ k））‚ 即 Y（ k＋1）＝ G（ Y（ k）‚Xm（ k））＝ H（Fm（X（ k））－q（Xm（ k）‚Y（ k）））．（证毕） 2 离散广义混沌同步系统 利用定理1构造一个新的离散广义混沌同步系 统．设离散混沌系统 X（ k＋1）＝F（ X（ k））为广义 Henon 映射［2］‚其形式为： x1（ k＋1）＝1＋ x2（ k）－ ax 2 1（ k） x2（ k＋2）＝bx1（ k）＋ x3（ k） x3（ k＋1）＝－bx1（ k） （11） 在 a＝1∙08‚b ＝0∙3‚x1（1）＝1‚x2（1）＝1‚ x3（1）＝1时能产生混沌轨道．构造一个可逆变换 H（X（ k））＝（ y1（ k）‚y2（ k）‚y3（ k））如下： y1（ k）＝ 3 － 1 3 （4x1（ k）＋ x2（ k）－10x3（ k）） y2（ k）＝ 3 1 3 （4x1（ k）＋ x2（ k）－7x3（ k）） y3（ k）＝ 3 1 3 （ x1（ k）＋ x2（ k）－4x3（ k）） （12） 则 H 的逆映射 V 为： x1（ k）＝（ y 3 1（ k）＋2y 3 2（ k）－y 3 3（ k）） x2（ k）＝（3y 3 1（ k）＋2y 3 2（ k）＋4y 3 3（ k）） x3（ k）＝（ y 3 1（ k）＋y 3 2（ k）） （13） 取 q（ Xm（ k）‚Y（ k））＝ 1 8 e（ k）＝ 1 8 （ X（ k）－ V（ Y（ k）））＝ 1 8 x1（ k）－（ y 3 1（ k）＋2y 3 2（ k）－y 3 3（ k）） x2（ k）－（3y 3 1（ k）＋2y 3 2（ k）＋4y 3 3（ k）） x3（ k）－（ y 3 1（ k）＋y 3 2（ k）） （14） 则 e（ k＋1）＝（1／8） k＋1 e（0）． 因此‚离散系统（14）大范围零解渐近稳定．令响应 系统 Y（ k＋1）＝ G（ Y（ k）‚Xm（ k））＝ H（Fm（X（ k））－q（Xm（ k）‚Y（ k））） （15） 则由定理1‚系统（11）和（15）关于 H 大范围广义混 沌同步．由（11）和（14）可解出： Fm（X（ k））－q（Xm（ k）‚Y（ k））＝ 第1期 臧鸿雁等： 基于离散混沌系统广义同步定理的数字图像加密方案 ·97·