ur(a, b=F(b) (上式的物理意义是,如果F(x)表示分布在区间(-∞,x]上的质量,则p(a,b])表示分布 在区间(a,b上的质量).利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限集和可 数集的L-S测度 0当x<1, 例4设F(x)={2当≤x<2,则F(x)是单调增加的右连续函数.计算 x2当x≥2 (0,1),p2(0,+∞)和pF({l}) 解利用测度的下连续性和可减性,我们有 (O.1)=p(U0,1-1)=im(0,1-1 limn(F(1-)-F(0)=0 H2(0,+∞)=(U(0,n])=im(0,m)=im(n2-0)=+0 F({1)=4(0,1)-1(0,1)=F(1)-F(0)-0=2 Lebesgue不可测集最后我们给出一个 Lebesgue不可测集的例子 例5 Lebesgue不可测集的例对任意x,y∈[01,若x-y是有理数,则记为x~y 容易验证关系“~”是区间[0,1上的一个等价关系.因此这个等价关系“”将[O,1分成一些互 不相交的等价类.根据 Zermelo选取公理,存在[01的一个子集E,使得E与每个等价类只 交于一点.我们证明E不是L可测的 设{n}是[-1中的有理数的全体对每个n,令En=Fn+E.则集列{En}具有如下 性质 (1).当m≠n时,En∩En=∞.若不然,设x∈Em∩En,则x-rm∈E, x-n∈E.由于x-rm-(x-n)=-rm是有理数,因此x-rm和x-n属于同一等价 类.但x-rm≠x-n这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元,这与E的性质矛盾 因此E.∩E.=② (2)成立如下包含关系 Ol=∪Enc[-1261 ((a,b]) F(b) F(a). µ F = − (8) (上式的物理意义是, 如果 F(x)表示分布在区间(−∞, x]上的质量, 则 ((a,b]) µ F 表示分布 在区间(a,b]上的质量). 利用(8)式和测度的性质, 容易计算出其它类型的区间、有限集和可 数集的 L-S 测度. 例 4 设      ≥ ≤ < < = . 2 2 1 2, 0 1, ( ) 2 x x x x F x 当 当 当 则 F(x) 是单调增加的右连续函数 . 计 算 ((0, 1)), µ F ((0, + ∞)) µ F 和 ({1}). µ F 解 利用测度的下连续性和可减性, 我们有 ) (0)) 0. 1 lim( (1 ] ) 1 ]) lim ((0 ,1 1 ((0, 1)) ( (0 ,1 1 = − − = = − = − →∞ →∞ ∞ = F n F n n n F n n µ F µ F ∪ µ ((0, )) ( (0 , ]) lim ((0, )) lim( 0) . 2 1 + ∞ = = = − = +∞ →∞ →∞ ∞ = n n n n F n n µ F µ F ∪ µ ({1}) = ((0, 1]) − ((0, 1)) = F(1) − F(0) − 0 = 2. µ F µ F µ F Lebesgue 不可测集 最后我们给出一个 Lebesgue 不可测集的例子.. 例 5 Lebesgue 不可测集的例. 对任意 x, y ∈[0,1], 若 x − y 是有理数, 则记为 x ~ y. 容易验证关系“~”是区间[0,1]上的一个等价关系. 因此这个等价关系“~”将[0,1]分成一些互 不相交的等价类. 根据Zermelo选取公理, 存在[0,1]的一个子集 E, 使得 E 与每个等价类只 交于一点. 我们证明 E 不是 L 可测的. 设{ }nr 是[−1,1]中的有理数的全体. 对每个 n, 令 E r E. n = n + 则集列{ } En 具有如下 性质: (1). 当 m ≠ n 时 , ∩ = ∅. Em En 若不然 , 设 , Em En x ∈ ∩ 则 x r E, − m ∈ x r E. − n ∈ 由于 m n n m x − r − (x − r ) = r − r 是有理数, 因此 m x − r 和 n x − r 属于同一等价 类. 但 . m n x − r ≠ x − r 这样 E 就包含了同一等价类中的两个不同的元. 这与 E 的性质矛盾! 因此 ∩ = ∅. Em En (2). 成立如下包含关系: [0,1] [ 1,2]. 1 ⊂ ⊂ − ∞ = ∪ n En