并集U,使得m(A△U)<E 证明由定理236,任意E>0,存在开集G3A,使得m(G-A)<5.由直线上开 集的构造定理,存在一列互不相交的开区间{a,b)使得G=U(ab)由于 m(A)<+0知道m(G)<+.于是∑(b-a,)=m(G)<+因此可以取n足够大使得 ∑(-a)<2,令U=Ua,,则mG-)<2我们得到 m(A△U)=m(A-U)+m(-A) ≤m(G-U)+m(G-A)<x+=E 下面的定理8表明 Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题 定理8设A是R"中的L可测集,x∈R",则x0+A是L可测集并且 m(xo +A)=m(a) 其中x+A={xa+x:x∈A Lebesgue-Stieltjes测度下面讨论 Lebesgue测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes测度.我们 仅讨论R的情形 设F是定义在R上的单调增加的右连续实值函数令 ={4=U(an,b]:(a1b…(a,b再互不相交k21} 则是一个环(见13例3)对任意A∈R,若A的一个分解式为A=∪(a,b1则令 H(4)=∑(F(b)-F(a) (7) 则yF是定义在上的非负值集函数类似于定理2的证明,可以证明山是上的测度 设是由Hp导出的外测度,R是H可测集的全体所成的a-代数,由22定理5 是”上的测度,称之为由F导出的 Lebesgue-Stieltjes测度,简称为LS测度.今后将延 拓后的测度仍记为4F由§22定理10,宋关于测度F是完备的由§22定理5 (R)=a(R)cR.因此山至少在f(R)有定义,显然 Lebesgue测度m就是 Lebesgue-Stieltjes测度H当F(x)=x时的情形 由LS测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间(an,b],有60 并集U , 使得m(A∆U) < ε. 证明 由定理 2.3.6, 任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得 . 2 ( ) ε m G − A < 由直线上开 集的构造定理 , 存在一列互不相交的开区间 {( , )} ai bi 使 得 ( , ). 1 ∪ ∞ = = i G ai bi 由 于 m(A) < +∞ 知道 m(G) < +∞. 于是 ( ) ( ) . 1 ∑ − = < +∞ ∞ = b a m G i i i 因此可以取 n 足够大使得 . 2 ( ) 1 ε ∑ − < ∞ i=n+ bi ai 令 ( , ), 1 ∪ n i U ai bi = = 则 . 2 ( ) ε m G −U < 我们得到 .. 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ≤ − + − < + = ∆ = − + − m G U m G A m A U m A U m U A ■ 下面的定理 8 表明 Lebesgue 测度具有平移不变性, 其证明留作习题. 定理 8 设 A 是 n R 中的 L 可测集, x0 ∈ n R , 则 x0 + A 是 L 可测集并且 ( ) ( ). m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A Lebesgue-Stieltjes 测度 下面讨论 Lebesgue 测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们 仅讨论 1 R 的情形. 设 F 是定义在 1 R 上的单调增加的右连续实值函数. 令 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = = ≥ = A a b a b a b k k k k i R ∪ i i " 互不相交 则R 是一个环(见§1.3 例 3). 对任意 A∈ R ,若 A 的一个分解式为 ( , ], 1 ∪ k i A ai bi = = 则令 ( ) ( ( ) ( )). 1 ∑= = − k i µ F A F bi F ai (7) 则 µ F 是定义在R 上的非负值集函数. 类似于定理 2 的证明, 可以证明 µ F 是R 上的测度. 设 ∗ µ F 是由 µ F 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ F 可测集的全体所成的 σ −代数 . 由§2.2 定理 5, ∗ µ F 是 ∗ R 上的测度, 称之为由 F 导出的 Lebesgue-Stieltjes 测度, 简称为 L-S 测度. 今后将延 拓后的测度 ∗ µ F 仍记为 µ F . 由§2.2 定理 10, ∗ R 关于测度 µ F 是完备的. 由§2.2 定理 5, ( ) = 1 B R σ (R ) ⊂ ∗ R . 因此 µ F 至少在 ( ) 1 B R 有定义. 显然 Lebesgue 测度 m 就是 Lebesgue-Stieltjes 测度 µ F 当 F(x) = x 时的情形. 由 L-S 测度的定义, 对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b], 有