待定系数法 例6.1求tanz在z=0的 Taylor展开 解由于tanz是奇函数,故其在z=0的 Taylor展开应只有奇次幂 tan z a2k+124*+1_sIn a Q2k+12k+1 (2n-2k)2k+2 n+1 a2k+1 k=0 n=0\k= 比较系数,即得 所以 1 na1-53 因此,有 32+15 从tanz的奇点可以判断,级数的收敛半径应为丌/2 应用待定亲数法,能得到糸数之间的递推关糸,原则上可以逐个求出展开糸数,但一般 不容易求出级数的通顼公式(即展开糸数αn的解析表达式) 果只需要求出级数中的某一项或某几项糸数,也可以采用待定糸数法 ★多值函数的 Taylor展开对于多值函数,在适当规定了单值分枝后,即可像单值函数那样 作 Taylor展开 例62求多值函数(1+2)2在z=0的 Taylor展开,规定z=0时(1+2)°=1 解可直接求出函数(1+z)在z=0点的各阶导数值, f(0)=1 f"(0)=a(a-1)(1+2)2-210=a(a-1 f)()=a(a-1)(a-2)…(a-n+1)(1+2)2-l=0=a(-1)…(a-n+1Wu Chong-shi §6.1 Taylor ⑧ ✝⑨⑩❶❷ ✍ 2 ✎ F ❸❹❺✫✮ ✴ ❻ 6.1 ✩ tan z s z = 0 ✬ Taylor ❥❦✴ ❼ ❽ ❅ tan z ❋❾❈✫❉② ❆s z = 0 ✬ Taylor ❥❦❿✷❑ ❾➀r ❉ tan z = X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = sin z cos z , sin z = cos z · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 , X∞ n=0 (−) n (2n + 1)! z 2n+1 = X∞ l=0 (−) l (2l)!z 2l · X∞ k=0 a2k+1z 2k+1 = X∞ n=0 Xn k=0 (−) n−k (2n − 2k)!a2k+1! z 2n+1 . ❧ ♠ ❺✫❉➁➂ Xn k=0 (−) k (2n − 2k)!a2k+1 = 1 (2n + 1)!. ➃ ◆ n = 0 : a1 = 1; n = 1 : 1 2 a1 − a3 = 1 6 , a3 = 1 3 ; n = 2 : 1 24 a1 − 1 2 a3 + a5 = 1 120 , a5 = 2 15 ; . . . ➄➅❉ ❑ tan z = z + 1 3 z 3 + 2 15 z 5 + 17 315 z 7 + · · · . ❪ tan z ✬❾➆▼◆➇➈❉✪✫✬t✉➉➊❿❘ π/2 ✴ ➋➌➍➎ ➏➐➑❉ ➒➓➔ ➏➐→ ➣↔↕➙ ➛➏❉ ➜➝➞➟ ➠➡➢➤ ➥➦➧ ➏➐ ❉➨➩➫ ➭➯ ➲➤ ➥➳➐↔➵➸➺➻ (➼ ➦➧ ➏➐ an ↔➽➾➚➪➻) ✴ ➶➹ ➘➴➷➤ ➥➳➐ ➬↔ ➮➩➸➱ ➮✃➸ ➏➐❉❐➟ ➠❒➌➍➎ ➏➐➑✴ F ❮❰ÏÐÑ Taylor ÒÓ ❄❅ÔÕ❈✫❉s Ö×Ø❹Ù❯ÕPÚÛ ❉➁▼Ü❯Õ❈✫ÝÞ ß Taylor ❥❦✴ ❻ 6.2 ✩ ÔÕ❈✫ (1 + z) α s z = 0 ✬ Taylor ❥❦❉Ø❹ z = 0 ♥ (1 + z) α = 1 ✴ ❼ ▼àá✩❜❈✫ (1 + z) α s z = 0 ➆✬âã❩✫Õ❉ f(0) = 1, f 0 (0) = α (1 + z) α−1   z=0 = α, f 00(0) = α(α − 1) (1 + z) α−2   z=0 = α(α − 1), . . . f (n) (0) = α(α − 1)(α − 2)· · ·(α − n + 1) (1 + z) α−n   z=0 = α(α − 1)· · ·(α − n + 1)