讲解析函数的局域性展 第3页 因此 z 1+az+ a(a-1)…(-n+1)2x+ 其中 1和 (a-1)…( 称为普遍的二项式展开系数 级数的收敛区域,还要视割线的作法而定,收敛半径等于z=0到割线的最短距离,所以 最大可能的收敛区域是||<1,R=1 例63求多值函数mn(1+2)在z=0的 Taylor展开,规定m(1+2)20=0 解在上述规定下,函数(1+2)可表示为定积分,因此 (1+z) n=0 收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的最短距离,最大可能的收敛区域是 在无穷远点的 Taylor展开如果函数f(x)在z=∞点解析,则也可以在z=∞点展开成 Taylor级数 所谓∫(z)在∞点展开成 Taylor级数,就是作变换z=1/t,而将f(1/t)在t=0点展 开成 Taylor级数,因为∫(1/)在t=0点解析,故 < f(2)=a+++…+mn+ 意:∫(x)在∞点的 Taylor级数中只有常数项及负幂项,没有正幂项,而收敛范围为 l>1/r,也就是说,级数在以∞为圆心的某个圆内收敛Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞ (✌) ✍ 3 ✎ . . . ➄➅ (1 + z) α = 1 + αz + α(α − 1) 2 z 2 + · · · + α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! z n + · · · = X∞ n=0  α n  z n , ❆ ä  α 0  = 1 å  α n  = α(α − 1)· · ·(α − n + 1) n! æ ❘✻ç✬èé❂❥❦❺✫✴ ✪✫✬t✉⑤⑥❉ê ëìíî✬ ß ✮❫❹✴t✉➉➊ï❅ z = 0 ð íî✬ñòóô ❉ ➃ ◆❉ ñõ▼ö✬t✉⑤⑥❋ |z| < 1, R = 1 ✴ ❻ 6.3 ✩ ÔÕ❈✫ ln(1 + z) s z = 0 ✬ Taylor ❥❦❉Ø❹ ln(1 + z)   z=0 = 0 ✴ ❼ s÷øØ❹ù❉❈✫ ln(1 + z) ▼❲❳❘❹❭P❉➄➅ ln(1 + z) = Z z 0 1 1 + z dz = Z z 0 X∞ n=0 (−) n z ndz = X∞ n=0 (−) n Z z 0 z ndz = X∞ n=0 (−) n n + 1 z n+1 = X∞ n=1 (−) n−1 n z n . t✉⑤⑥úëûíîüýß ✴t✉➉➊ï❅ z = 0 ð íî✬ñòóô❉ñõ▼ö✬t✉⑤⑥❋ |z| < 1 ❉ R = 1 ✴ F þÿ￾✁✂Ñ Taylor ÒÓ ❝❞❈✫ f(z) s z = ∞ ➆✄☎❉ ♦ ú▼◆s z = ∞ ➆❥❦❨ Taylor ✪✫✴ ✆✝ f(z) ✞ ∞ ✟ ➦➧✠ Taylor ➳➐❉✡☛☞✌✍ z = 1/t ❉✎✏ f(1/t) ✞ t = 0 ✟ ➦ ➧✠ Taylor ➳➐✴✑✒ f(1/t) ✞ t = 0 ✟ ➽➾❉✓ f  1 t  = a0 + a1t + a2t 2 + · · · + ant n + · · · , |t| < r; f(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n + · · · , |z| > 1 r . ✔✕❃ f(z) ✞ ∞ ✟ ↔ Taylor ➳➐ ➬➘✖✗➐➸✘ ✙✚➸ ❉✛✖✜✚➸ ❉✎✢✣ ✤✥✒ |z| > 1/r ❉❐✡☛✦❉ ➳➐✞ ➠ ∞ ✒ ✧★↔ ➮➢ ✧✩✢✣✴