6.2解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 §6.2解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 ★介绍解析函数的两个重要性质,它们具有非常重要的理论价值 定义如果∫(x)在a点及其邻域内解析,f(a)=0,则称z=a为f(2)的零点 设∫(x)在z=a点及其邻域内解析,则当|z-a充分小时, f(2)=∑an(2-a)n, 故若z=a为零点,则必有 此时,称z=a点为f(z)的m阶零点,相应地 f(a)=f(a)=…=f(m-1)(a)=0,f(m(a)≠0 零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内,不可能有分数次的零点 解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性 定理62若f(z)不恒等于零,且在包含z=a在内的区域内解析,则必能找到圆|z-a= (p>0),使在圆内除了z=a可能为零点外,f(2)无其他零点 这个定理称为解析函数的零点孤立性定理,根据这个定理,可以推岀解析函数零点 的下面两个重要性质 推论1设f(2)在G:|z-a<R内解析.若在G内存在f(2)的无穷多个零点{zan},且 但zn≠a,则f(2)在G内恒为 推论1中的条件 lim zn=a可以减弱为序列{an}的一个极限点为a 推论2设f(z)在G:|z-叫<R内解析.若在G内存在过a点的一段弧l或含有a点的 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0 推论2的成立范围是以z=α点为圆心的圆域,但是很容易推广到一般形状的区域 推论3设f(z)在G内解析.若在G内存在一点z=a及过a点的一段弧l或含有a点的一 个子区域g,在l上或g内f(2)≡0,则在整个区域G内f(2)≡0Wu Chong-shi §6.2 ✄☎✆✝✞✪✫✬✭✡✮✄☎✆✝✞✯✰✡ ✍ 4 ✎ §6.2 ✱✲✳✤✴✵✶✷✸✹✺✱✲✳✤✴✻✼✹ F ✸✹✄☎❈✫✬❡❢✽ ë✾✿❉❀❁❂❑❃ ✽✽ ë ✬ ▲❄❅Õ✴ ❆❇ ❝❞ f(z) s a ➆❈❆❉⑥ ✇✄☎❉ f(a) = 0 ❉ ♦æ z = a ❘ f(z) ✬❊➆✴ ❋ f(z) s z = a ➆❈❆❉⑥ ✇✄☎❉ ♦ × |z − a| ●P❍ ♥ ❉ f(z) = X∞ n=0 an(z − a) n , ②■ z = a ❘❊➆❉♦❏❑ a0 = a1 = · · · = am−1 = 0, am 6= 0. ➅♥ ❉ æ z = a ➆❘ f(z) ✬ m ã❊➆❉q❿❛❉ f(a) = f 0 (a) = · · · = f (m−1)(a) = 0, f(m) (a) 6= 0. ❊➆✬ã✫❑❋▲❹✬▼◆✫ s❈✫✬✄☎⑤⑥ ✇❉❖▼ö❑ P✫➀✬❊➆✴ ➽➾P➐◗ ✟ ↔➩➢❘➷❙❚☛❯↔❱❲❙ ❆❳ 6.2 ■ f(z) ❖❨ï❅❊❉❩s❬❭ z = a s ✇✬⑤⑥ ✇✄☎❉ ♦❏ ö❪ð ✈ |z − a| = ρ (ρ > 0) ❉❫s ✈✇❴Ù z = a ▼ö❘❊➆❵❉ f(z) ❛❆❇❊➆✴ ❜➢➎❝❞✒ ➽➾P➐↔◗ ✟ ❱❲❙➎❝ ✴❡❢❜➢➎❝ ❉ ➟ ➠➙ ➥➽➾P➐◗ ✟ ↔❣ ❤✐➢❘➷❙❚❃ ❥❦ 1 ❋ f(z) s G : |z − a| < R ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s f(z) ✬❛♠Ô❢❊➆ {zn} ❉❩ limn→∞ zn = a, ♥ zn 6= a ❉ ♦ f(z) s G ✇❨❘ 0 ✴ ➙♦ 1 ➬↔♣q limn→∞ zn = a ➟ ➠rs✒t✉ {zn} ↔➩➢✈✇✟✒ a ✴ ❥❦ 2 ❋ f(z) s G : |z − a| < R ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s① a ➆✬✱②③ l ❬❭ ❑ a ➆✬✱ ❢④⑤⑥ g ❉s l ÷❬ g ✇ f(z) ≡ 0 ❉ ♦ s◆❢⑤⑥ G ✇ f(z) ≡ 0 ✴ ➙♦ 2 ↔✠❲ ✤✥☛ ➠ z = a ✟✒ ✧★ ↔ ✧ ⑤ ❉➨ ☛⑥➯ ➲➙ ⑦➔➩➫⑧⑨↔ ⑩⑤ ✴ ❥❦ 3 ❋ f(z) s G ✇✄☎✴ ■ s G ✇❧s✱➆ z = a ❈① a ➆✬✱②③ l ❬❭ ❑ a ➆✬✱ ❢④⑤⑥ g ❉s l ÷❬ g ✇ f(z) ≡ 0 ❉ ♦ s◆❢⑤⑥ G ✇ f(z) ≡ 0 ✴