380 高等数学重点难点100讲 (3)‖f(x,y,z)dS中的变量x,y,z之一用(2)中确定的单值函数代人;dS用曲面z的 面积元素的表达式代人;积分曲面Σ换成相应的投影区域D 2.应用 (1)求质量.当f(x,y,x)>0时,曲面积分f(x,y,x)dS可以看成是以∫(x,y,x)为 面密度的曲面构件的质量. 例6求抛物面壳x=2(x2+y2)(0x≤1)的质量,此壳的面密度的大小为P=x 解曲面方程x=1(x2+y)(0≤x≤1)在xOy面上的投影D,为x2+y≤2 又 dy y,dS=√1+x2+y2drdy 于是 =p(r, y, 2)ds=zdS (x2+y2)√1+x2+y2drd 1n2,√1 r-u de 23(1+a)/22 、5(1+4)dn=(6√3+1) (2)求面积设:z=f(x,y)(与平行z轴的直线只交于一点)在xOy平面上的投影域 为D则的面积A=Js=[√1++dy的其他形式有类似的公式 例7求曲面x2+y z2和y+z=2所围成的立体的表面积 解记∑为立体的表面从x2+y2=1x2和y+x=2中消去,?×(y+1)2 1,故Σ在xOy平面的投影区域为D:x+(+1)2 21.由工,S2两部分组成,其中, x1:=√3√x+y2,(x,y)∈D;S:x=2-y,(x,y)∈D,所求表面积 ds ds+ds x2+y2 2 drdy +v2 drdy=(2+2) ] drdy (2+√2)r·√3·√2=2√3(1+√2)π 二、对坐标的曲面积分的计算法 1.对坐标的曲面积分解法有三种,先讨论其中的两种,第三种第88讲讨论 (1)通过投影化为二重积分