第87讲曲面积分计算法(1) 379 ax=0.E左及右在xOz面上的投影区域均为图873所示的区域Dn又 ay a x2+y2=1可代入被积函数中化简.从而 ds ds ds ds !x2+y+2-1+z2=出1+ 1+ 1+2√1+()+( dzdz =√1+(+( dxdz (1+z2)√1 图87-2 图87-3 drda 由于积分域Dx及被积函数 的对称性,所以 (1+z2)√1-x 6,(1+x3)√ a+4=学其中为D,位于:轴有边的区域 ds raa 因此 1+ 注意本题也可以化为Dx上的二重积分计算,但不能化为D2上的二重积分,这是因 为这时不能从Σ的方程x2+y2=1表现出x=x(x,y),也就无法求出原积分的值.应注意 的是如果认为S在xOy面上的投影为圆周,面积为零,由此就说原积分的值为零,这个结 论是错误的 小结对面积的曲面积分f(x,y,2)dS的计算方法是化为二重积分计算,化为二重积 分的方法步骤是: (1)确定二重积分的积分域,它是积分曲面∑在坐标面上的投影区域,这个投影区域是 由Σ的方程或给出的形式(显式)来确定的,若Σ以显式方程给出,则当显式方程为x=:(x, y)时,一般取投影区域D,;当显式方程为x=x(y,z)时,一般取投影区域Dx,当显式方程 为y=y(x,z)时,一般取投影区域D灬若Σ以隐式方程F(x,y,z)=0给出,则应根据该 方程来确定投影区域.当确定一个投影区域时,必须能表示成相应的二元函数(如取投影 区域D灬,Σ必须能表成y=y(x,z),并且要考虑便于二重积分的计算 (2)由Σ的方程(如果是隐式方程)解出定义在(1)中确定的投影区域上的单值函数,若 不是单值,则应将Σ分成几块,使在每一块上是单值的