例6设样本，，，n来自正态总体r~N(,σ)，4，σ2未知，求4，σ2 的极大似然估计。 解设(x1,,…,xn)为对应的样本观察值，则关于4，σ2得似然函数为 4uo-12ae=2o)。2w 1- 1 于是 h4o学2-登a-2石24-m 2 2 anL-(x-w川=0 = oln L n 1 a=2a+2o2-W=0. 解之得 a=12,62=12x-2 易验证，立，62为(4，o2)得最大值点。因此，立，62的极大似然估计值为 a=2x,62=12x-2 n ia 注意，若参数4己知，则σ2的极大似然估计为 62-2(x-2 n 3.点估计的评价标准 从上节可以看出，对同一个未知参数，可以由多种方法进行估计，即使用同一种方 法，有时也可到多个估计量。我们总希望得到的估计量能代表总体的真实参数，那么在 同一参数的许多可能的估计量中那一个是最好的估计量呢？自然地想到，需要有一个评 价估计量优劣的标准。在本节中我们给出三个评价的标准。 (1)无偏性 估计量(X,X2,…,r)是一个随机变量，对一次具体的观察或实验的结果，估计值 可能较真实的参数值偏小或偏大，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻 合，这就是无偏性所要求的。 定义设，5，，xn为来自总体r的样本，0∈⊙为总体的未知参数，日为日例 6 6 设样本 X1，X2，…，Xn来自正态总体 X  N (，2 )，，2 未知，求， 2 的极大似然估计。 解 设 (x 1，x2，…，xn )为对应的样本观察值，则关于， 2得似然函数为              n i x x n n i i i e e L 1 ( ) 2 1 2 2 2 2 (2 ) , 2 1 ( , ) 1 2 2 2 2         于是       n i i x n n L 1 2 2 2 2 ( ) 2 1 ln 2 ln 2 2 ln ( , )                             n i i n i i x L n x L 1 2 2 2 4 1 2 ( ) 0. 2 1 2 ln ( ) 0, ln 1        解之得        n i i n i i x x n x n 1 2 2 1 ( ) 1 , ˆ 1 ˆ  易验证， 为 L(， 2 ˆ ,ˆ 2 )得最大值点。因此， ˆ ,ˆ 2 的极大似然估计值为        n i i n i i x x n x n 1 2 2 1 ( ) 1 , ˆ 1 ˆ  注意，若参数 已知，则2 的极大似然估计为     n i i x n 1 2 2 ( ) 1 ˆ  3. 3. 点估计的评价标准 点估计的评价标准 点估计的评价标准 点估计的评价标准 从上节可以看出，对同一个未知参数，可以由多种方法进行估计，即使用同一种方 法，有时也可到多个估计量。我们总希望得到的估计量能代表总体的真实参数，那么在 同一参数的许多可能的估计量中那一个是最好的估计量呢？自然地想到，需要有一个评 价估计量优劣的标准。在本节中我们给出三个评价的标准。 (1) (1) 无偏性 估计量ˆ ( X1 , X 2 ,, X n ) 是一个随机变量，对一次具体的观察或实验的结果，估计值 可能较真实的参数值偏小或偏大，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻 合，这就是无偏性所要求的。 定义 设 X1，X2 ，…，Xn为来自总体 X 的样本，  为总体的未知参数，ˆ 为