得分评卷人 四、综合题（本大题共10分） 证明：函数 fx,)= 品当2+≠0 0当x2+y2=0 查舒点@)莲统并且存在徐导气包在0)不订我 2+≥一l辛sl岛=号 0≤号e≤尝号=0一豐e=0=o 即f(x,)在(0,0)连续.又有 0-@-=器-0.0 @.tum o.).0吗会益。D △y △y 但是 df=f(0,0)△x+0,0)△y=0, (△x)2△y △f-j=fA,A)-f0,0)-=aP+△yP p=V(△x)2+(△)2， 思，0l”中a明”中a盖在 (△x2△x ∴f红，)在(0,0)点不可微 数学分析四试题第8页（共8页）© µò< o!nÜK £ ŒK
10 © ¤ y²: ¼ê f(x, y) =    x 2y x2+y 2  x 2 + y 2 6= 0 0  x 2 + y 2 = 0 3: (0, 0) ëY¿…3 ê, 3 (0, 0) ،‡. y² ∵ x 2 + y 2 ≥ 2|xy| =⇒    x 2 y x 2 + y 2    ≤    x 2 y 2xy    = |x| 2 ∴ 0 ≤ limx→0 y→0 f(x, y) ≤ limx→0 y→0 |x| 2 = 0 =⇒ limx→0 y→0 f(x, y) = 0 = f(0, 0), = f(x, y) 3 (0, 0) ëY. qk f 0 x (0, 0) = lim ∆x→0 f(∆x, 0) − f(0, 0) ∆x = lim ∆x→0 (∆x) 2 ·0 (∆x) 2+0 − 0 ∆x = 0, f 0 y (0, 0) = lim ∆y→0 f(0, ∆y) − f(0, 0) ∆y = lim ∆y→0 0 2 ·∆y 0 2+(∆x) 2 − 0 ∆y = 0. ´ df = f 0 x (0, 0)∆x + f 0 y (0, 0)∆y = 0, ∆f − df = f(∆x, ∆y) − f(0, 0) − df = (∆x) 2∆y (∆x) 2 + (∆y) 2 , ρ = p (∆x) 2 + (∆y) 2 , limρ→0 ∆x=∆y (∆f − df) ρ    (0,0) = lim |∆x|→0 (∆x) 2∆x √ 2|∆x|[(∆x) 2 + (∆x) 2 ] = lim |∆x|→0 1 2 √ 2 ∆x |∆x| Ø3. ∴ f(x, y) 3 (0, 0) :،‡. êÆ©Û(II)ÁK 1 8 £
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