3.证明级数三器发散。 证明因为=>0，n=12,3,所以立=是正项级数 -典a==()”-[▣(+)门 .3(n+1)nn 由Der判别法知道宫器发截 装 装林林林林料 4证明级数言学收敛 证明 订 线 -店-a玄m 内 m三-(-)5-(+)引 答 1 题 点>n咖21典后=0 无 所以由Dirichlet判别法推出空如芝收。敛 效 5用定义证明：c+)如=0 证明>0要使不等式 线 a+叨-0≤Ie+功sn时l≤+M< 成立.取6=号>0，则>0,6=号>0，（红，）：x-01<6,y-0< 6z)≠Q0有在+功血-0<6野+功sm=0 数学分析山试题第7页（共8页） C ¾ ‚ S ‰ K à  ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** C ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ¾ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ‚ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3. y²: ?ê P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. y² Ϗ 3 nn! nn > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ¤± P∞ n=1 2 nn! nn ´‘?ê. ∵ limn→∞ 3 n+1(n+1)! (n+1)n+1 2nn! nn = limn→∞ 3(n + 1)n n (n + 1)n+1 = 3 limn→∞  n n + 1n = 3  limn→∞  1 + 1 n n−1 = 3 e > 1 ∴ d D’Alembert O{ P∞ n=1 3 nn! nn uÑ. 4. y²: ?ê P∞ n=1 sin nπ 2 n Âñ. y² ∵ |Sn| =      Xn k=1 sin kπ 2      =      1 2 sin π 4 Xn k=1 2 sin π 4 sin kπ 2      =      1 2 sin π 2 Xn k=1  cos  k − 1 2  π 2 − cos  k + 1 2  π 2       =     1 2 sin π 2  cos π 4 − cos  n + 1 2  π 2     ≤ 1 |sin π 2 | , ∀n ≥ 1, 1 n > 1 n + 1 , ∀n ≥ 1, limn→∞ 1 n = 0, ¤±d Dirichlet O{íÑ P∞ n=1 sin nπ 2 n Âñ. 5. ^½Ây²: limx→0 y→0 (x + y) sin 1 y = 0. y² ∀ > 0 ‡¦Øª |(x + y) sin 1 y − 0| ≤ |(x + y) sin 1 y | ≤ |x| + |y| <  ¤á.  δ =  2 > 0, K ∀ > 0, ∃δ =  2 > 0, ∀(x, y) : |x − 0| < δ, |y − 0| < δ, (x, y) 6= (0, 0), k |(x + y) sin 1 y − 0| < , = limx→0 y→0 (x + y) sin 1 y = 0. êÆ©Û(II)ÁK 1 7 £
8 ¤