八、(本题满分6分)已知函数∫(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,f(1)=1,在(0,1)内 f(x)>0,证明:对于任意给定的实数k>0,k2>0,…,kn>0,均存在(0,1)内互 不相同的实数4>0,4>0,…420,他得点 解答:因为函数f(x)在[0,1上连续,在(0,1)内f(x)>0,所以存在反函数x=f(y) Dr)=(0,R2)=10,1且r0)=0,r()=1,记k=∑,将[0,1区间 分割为[0,6]、[A,A]、[,]、……、[1],在各自 区间上对函数x=广()运用 Lagrange D中值定理:存在互不相同s∈[,] (i=1,2,…,n),使得:1=f(1)-f(0)=∑f k1+…+k d厂(y) k d f(x) k f(1)k·!其中,因为f(x)严 dx 格单增,因此t,(i=1,2,…n)亦互不相同}, 所以对于任意给定的实数k>0,k2>0,…,k>0,均存在(0,1)内互不相同的实数 1>0,12>0,…,n>0,使得 ∑k f(4)台 66 八、（本题满分 6 分）已知函数 f x( ) 在 [ 0,1] 上连续， f f (0) 0 , (1) 1   ，在 (0 ,1) 内 f x ( ) 0  ，证明：对于任意给定的实数 1 2 0, 0, , 0, k k k   n 均存在 (0 ,1) 内互 不相同的实数 1 2 0 , 0 , , 0 , n t t t    使得 1 1 ( ) n n i i i i i k k f t       。 解答：因为函数 f x( ) 在 [ 0 ,1] 上连续，在 (0 ,1) 内 f x ( ) 0  ，所以存在反函数 1 x f y( )   ， 1 D f ( [ 0 ,1] )   ， 1 R f ( [ 0 ,1] )   且 1 f (0) 0   ， 1 f (1) 1   ，记 1 n i i k k   ，将 [ 0 ,1] 区间 分割为 1 [ ] 0, k k 、 1 1 2 [ , ] k k k k k  、 1 2 1 2 3 [ , ] k k k k k k k    、 、 1 1 [ ,1] n k k k    ，在各自 区间上对函数 1 x f y( )   运用 Lagrange 中值定理：存在互不相同 1 1 1 [ , ] i i i k k k k k s k       ( 1, 2 , , ) i n  ，使得： 1 1 1 f f (1) (0)      1 1 1 1 1 1 i i n i k k k k f f k k                             1 1 ( ) i y si n i d f y k dy k      1 1 ( ) i x ti n i k d f x k d x     1 1 ( ) i n i i k k f t    ， 其中，因为 f x( ) 严 格单增，因此 i t ，( 1, 2 , , ) i n  亦互不相同  ， 所以对于任意给定的实数 1 2 0, 0, , 0, k k k   n 均存在 (0 ,1) 内互不相同的实数 1 2 0 , 0 , , 0 , n t t t    使得 1 1 ( ) n n i i i i i k k f t      