例24.1设x1>0,m1=￥x1+·=12,3…。证明数列{xn} 收敛,并求它的极限。 解首先,应用数学归纳法可直接得到:当n≥2时, 1<x.<2 然后由x=1+ x n=1,2,3,…)可得 (1+xn,)(1+xn1) 这说明对一切n≥2,xn1-xn具有相同符号,从而{x}是单调数列。由 定理2.4.1,{xn}收敛例2.4.1 设 x1 > 0 , xn+1 =1 1 + +x xn n ,n = 123 ,,,"。证明数列{ xn } 收敛，并求它的极限。 解 首先，应用数学归纳法可直接得到：当n ≥ 2时， < < 21 n x 。 然后由 xn+1 =1 1 + +x xn n (n = 123 ,,,") 可得 n n 1 x x + − = x x x x n n n n − + + − − 1 1 1 1 ( )( ) 。 这说明对一切n ≥ 2 , n n 1 x x + − 具有相同符号，从而{ }n x 是单调数列。由 定理2.4.1，{ xn }收敛