2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 彐N>0,使当n>N时有x>0。又若limx=A<0,则当n足够大时必然有x。<0 换言之:一定彐N>0,使当n>N时有x。<0 证:由 lim x=A>0,则VE>0,彐N>0,使当n>N时有 a-8<x <a+a 特别取A 0,则 A 3A <X<一,于是有x>>0。 性质1推论若{xn}有极限,且彐>0,使当n>N时有xn>0,则imxn=A≥0 注:本例题为性质1极限的保序性的重要推论 证:用反证法,假设 lim x=A<0,则由保序性可知:一定彐N>0,使当n>N时有 xn<0。与题设条件矛盾,于是只能是imxn=A≥0。 由性质1可进一步推论,即有下述应用结果:(这一结论常称之为极限的比较性质。 若 limx=A与 limy,=B都存在,且A>B,则彐N>0,使当n>N 时必有xn>yn。(证明方法:只要令an=xn-yn,即可完成证明。) 性质2唯一性 若{xn}有极限,则极限唯一,即若 limx=A,又 limx=B,则只能是A=B 性质3有界性 若{xn}有极限,则{xn}有界(n→∞)。这种有界性可描述为:若极限 lim x=A 存在,则一定M>0及某个N>0,使当n>N时有xn<M。 证:由 lim x=A存在,则VE>0,彐N>0,使当n>N时有 A-E<xn<A+E,特别取E=1>0,则 A-1<xn<A+1,取M=max{4-14+l}>0, 则当n>N时有xnl<M 注:掌握了序列极限的保序性概念,便不难理解函数极限的保序性概念,与此相 关的知识点还有:由一点处导数正负号导致的函数局部性质,积分的保序性概念 与比较性质,函数(一元与多元)的局部极值,梯度与散度概念导致的函数局部 性质,等等。 1.3.3数列极限的存在准则 (1)单调有界准则 定理3.1设{xn}为单调增序列,若有上界,即存在常数M∈R及某个N>0,使当 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -8-清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∃N > 0，使当 n > N 时有 xn > 0 。又若 = < 0 →∞ xn A n lim ，则当 足够大时必然有 ， 换言之：一定 ，使当 时有 n xn < 0 ∃N > 0 n > N < 0 n x 。 证：由 = > 0 ，则 →∞ xn A n lim ∀ε > 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε < x < A + ε n ，特别取 0 2 = > A ε ，则 2 3 2 A x A < n < ，于是有 0 2 > > A xn 。 性质 1 推论 若{ }有极限，且 ，使当 时有 ，则 。 xn ∃N > 0 n > N xn > 0 = ≥ 0 →∞ xn A n lim 注：本例题为性质 1 极限的保序性的重要推论。 证：用反证法，假设 = < 0 →∞ xn A n lim ，则由保序性可知：一定∃N > 0，使当 n > N 时有 < 0 n x 。与题设条件矛盾，于是只能是 = ≥ 0 →∞ xn A n lim 。 由性质 1 可进一步推论，即有下述应用结果：（这一结论常称之为极限的比较性质。） 若 xn A与 都存在，且 n = →∞ lim yn B n = →∞ lim A > B ，则∃N > 0，使当 n > N 时必有 xn > yn 。（证明方法：只要令 n n n a = x − y ，即可完成证明。） 性质 2 唯一性 若{ }有极限，则极限唯一，即若 xn xn A n = →∞ lim ，又 xn B n = →∞ lim ，则只能是 A = B 。 性质 3 有界性 若{xn }有极限，则{xn }有界（ n → ∞ ）。这种有界性可描述为：若极限 存在，则一定 及 某个 ，使当 时有 xn A n = →∞ lim ∃M > 0 N > 0 n > N x n < M 。 证：由 xn A存在，则 n = →∞ lim ∀ε > 0，∃N > 0，使当 n > N 时有 A − ε < x < A + ε n ，特别取ε = 1 > 0 ，则 A −1 < x < A +1 n ，取 M = max{ } A −1, A +1 > 0 ， 则当 n > N 时有 xn < M 。 注：掌握了序列极限的保序性概念，便不难理解函数极限的保序性概念，与此相 关的知识点还有：由一点处导数正负号导致的函数局部性质，积分的保序性概念 与比较性质，函数（一元与多元）的局部极值，梯度与散度概念导致的函数局部 性质，等等。 1．3.3 数列极限的存在准则 （1） 单调有界准则 定理 3.1 设{xn } 为单调增序列，若有上界，即存在常数 M ∈ R 及 某个 N > 0 ，使当 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785