2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 n>N时有x<M,则limx,存在。或:单调减有下界,也必有极限。 利用单调有界准则,可以证明下列重要极限 (2)夹逼准则 定理32若iman= lim b=A存在,且彐N>0,使当n>N时有an≤cn≤bn,则 序列{cn}有极限,且 lim c=A 做为无穷小量的运算,下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 定理33设序列{xn}有界, lim y=0,则极限1 Many存在,且 limx,y=0。 [证]序列{xn}有界,则存在N1与M>0,使当n>N2时,kx<M。 由imy,=0,则vE>0存在彐N2,使当n>N2时,p<5M 取N=maN,N2},则当n>N时,y<r:M=, 即 lim, y=0。 1.3.4无穷大量的比阶 定义35设xn与yn均为无穷大量(n→∞),yn≠0(m=1,2,…),若满足 则(1)当μ≠0时,称xn与yn为同阶无穷大量(n→∞),特别H=I时,称xn与yn为 等价无穷大量(n→∞) (2)当H=0时,称xn是比yn低阶的无穷大量(m→∞),同时称y是比xn高阶的无 穷大量(n→∞) 3)当μ=∞时,称xn是比yn高阶的无穷大量(n→∞),同时称yn是比xn低阶的无 穷大量(n→∞)。 对前面例2.9至例2.12的极限结论,均可以作为已知极限直接引用。按上述无穷大量 比阶的定义,我们可以将一些常见无穷大量由底阶到高阶进行如下排序: ln,n2(4>0),a"(a>D),n,n 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781782005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 n > N 时有 x M ，则 存在。或：单调减有下界，也必有极限。 n < n n x →∞ lim 利用单调有界准则，可以证明下列重要极限 e n n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + →+∞ 1 lim 1 （2）夹逼准则 定理 3.2 若 n 存在，且 n a →∞ lim bn A n = = →∞ lim ∃N > 0，使当 时有 ，则 序列{ 有极限，且 。 n > N n n n a ≤ c ≤ b cn } cn A n = →∞ lim 做为无穷小量的运算，下述命题常用来处理极限的存在及求解问题 定理 3.3 设序列{xn }有界， lim = 0, →∞ n n y 则极限 存在，且 。 n n n x y →∞ lim = 0 →∞ n n n lim x y [证] 序列{ }有界，则存在 与 , 使当 时, n x ∃N1 M > 0 N2 n > xn < M 。 由 lim = 0, 则 →∞ n n y ∀ε > 0 存在 , 使当 时, ∃N2 N2 n > M yn < ε ， 取 { ，则当 时, N N1 N2 = max , } n > N ε < ε ⋅ M = M x yn n ， 即 = 0。 →∞ n n n lim x y 1.3.4 无穷大量的比阶 定义 3.5 设 xn 与 yn均为无穷大量(n → ∞) ， y ≠ 0(n = 1,2,L) n ，若满足 = µ →∞ n n n y x lim 则（1）当 µ ≠ 0 时，称 xn 与 yn为同阶无穷大量(n → ∞) ，特别 µ = 1 时，称 与 为 等价无穷大量 。 xn n y (n → ∞) （2）当 µ = 0 时，称 xn 是比 yn低阶的无穷大量(n → ∞) ，同时称 是比 高阶的无 穷大量 。 n y xn (n → ∞) （3）当 µ = ∞ 时，称 xn 是比 yn高阶的无穷大量(n → ∞) ，同时称 是比 低阶的无 穷大量 。 n y xn (n → ∞) 对前面例 2.9 至例 2.12 的极限结论，均可以作为已知极限直接引用。按上述无穷大量 比阶的定义，我们可以将一些常见无穷大量由底阶到高阶进行如下排序： n n ln n, n (λ > 0), a (a > 1), n!, n λ 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 9 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785