(4)R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明:不妨设f单调增,对任意a∈R 令ln=in(xl(x)>a 由f单调增知下面的集合为可测集 E∩[l,+0)当a∈{xf(x)>a} f>a1=飞E∩(la,+∞)当aE(x(x)>a}⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 a I a x1 x2 [ , ) { | ( ) } [ ] ( , ) { | ( ) } { E I I x f x a f a E I I x f x a a a a a E  +    =  +   当 当 由f单调增知下面的集合为可测集 I inf{ x | f (x) a} 令 a =  证明：不妨设f单调增，对任意a∈R