可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 证明:任取x∈E[>a,则(x)>a,由连续性假设知, 对=f(x)-a30>0.使得f(O,EcO(n+∞) 即 Ox. 5. ECEUa f(xor-E 令G=O6 则G为开集,当然为可测集,且 G∩E=(O:a)∩E=(Oxa)E)cEra f>al f>a] 反之Ea1∈(Oa)E=G∩E x∈hf>al 故En=G⌒E为可测集可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数 故E[ f a] = G  E为可测集 ( ) , 0, ( ) ( , ) = f x − a  x  f O( x, )  E  O( f ( x), )  a + x    对 使得 ( , ) [ ] x 即O E E x f a     证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知， ( ) x０ f(x0 )+ε f(x0 ) f(x0 )-ε a [ ] ( , ) x f a x x E G O    令 =  [ ] [ ] ( , ) ( , ) [ ] ( ) ( ) x x f a f a x x f a x E x E G E O E O E E        另外  =   =    则G为开集，当然为可测集，且 [ ] [ ] ( , ) ( ) x f a f a x x E E O E G E     反之所以    = 