f() 9.设∫在x=0连续,且对任何x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(U)证明 (1)f在R上连续;(2)f(x)=f()x 10设定义在R上的函数∫在0两点连续,且对任何x∈R有/(x2)=f(x)证明:∫为常 量函数 习题答案 §1连续性概念 2.(1)x=0,第二类间断点;(2)x=0,跳跃间断点; (3)x=nr(n=0±,±2,…),可去间断点;(4)x=0,可去间断点 (5)x=+kx(k=0±1±2,…),跳跃间断点;(6)除x=0外每一点都是跳跃间断点; (7)x=-7为第二类间断点,x=1为跳跃间断点 82连续函数的性质 1.(1)∫og处处连续,gof,x=0为可去间断点; (2)∫°g,x=-10,1为跳跃间断点,g。∫处处连续. 8.(1)-丌;(2) §3初等函数的连縷性 1.(1)6;(2)一;(3)1;(4)1;(5)e 典型习题解答 1.(§1第6题)设∫为区间I上的单调函数。证明:若x0∈I为∫的间断点,则x0必是 ∫的第一类间断点 证明;取UP(x)∈I,则∫在UP(x)上单调有界,从而∫(x+0)存在,又取∪(x0)c 则∫在∪P(x0)上单调有界,所以f(x-0)存在,但∫在点x不连续,因此x是∫的第 类间断点 2.(§1第7题)设∫只有可去间断点,定义g(x)=lmf(),证明:g为连续函数 证明:设x为∫的定义域内的任意点因为g(x)=lmf(),所以vE>0.豆61>0,使得5  f ( ) n f  =      + 1 . 9．设 f 在 x = 0 连续，且对任何 x, y  R 有 f (x + y) = f (x)+ f (y) .证明： （1） f 在 R 上连续； （2） f (x) = f (1)x . 10.设定义在 R 上的函数 f 在 0,1 两点连续，且对任何 xR 有 f (x ) = f (x) 2 .证明： f 为常 量函数. 习题答案 §1 连续性概念 2．（1） x = 0 ，第二类间断点；（2） x = 0 ，跳跃间断点； （3） x = n(n = 0,1,2, ) ，可去间断点；（4） x = 0 ，可去间断点； （5） ( 0, 1, 2,) 2 x = + k k =    ，跳跃间断点；（6）除 x = 0 外每一点都是跳跃间断点； （7） x = −7 为第二类间断点， x =1 为跳跃间断点. §2 连续函数的性质 1．（1） f  g 处处连续， g  f ， x = 0 为可去间断点； （2） f  g ， x = −1,0,1 为跳跃间断点， g  f 处处连续. 8．（1）  4 3 ；（2） 2 3 . §3 初等函数的连续性 1．（1）6；（2） 2 1 ；（3）1；（4）1；（5） e . 典型习题解答 1．（§1 第 6 题）设 f 为区间 I 上的单调函数。证明：若 x  I 0 为 f 的间断点，则 0 x 必是 f 的第一类间断点 证明；取 (x )  I + 0 0  ，则 f 在 ( ) 0 0 x + 上单调有界，从而 ( 0) f x0 + 存在，又取 (x )  I − 0 0  ， 则 f 在 ( ) 0 0 x − 上单调有界，所以 ( 0) f x0 − 存在，但 f 在点 0 x 不连续，因此 0 x 是 f 的第 一类间断点. 2．（§1 第 7 题）设 f 只有可去间断点，定义 g(x) f (y) y→x = lim ，证明： g 为连续函数 证明：设 0 x 为 f 的定义域内的任意点.因为 g(x) f (y) y→x = lim ，所以   0, 1  0 ，使得