当y∈U"(xo,)时,有/(y)-g(x)<6 (1) x∈U(xn,8)UP(x0,62)cUP(x0,),当y∈U(x0,2)时,(1)成立,从而 lm|/()-g(x0)≤E即g(x)-g(x)≤E 因此g(x)在点x连续,由x的任意性,gx)为连续函数 3.(2第12题)证明:f(x)=√x在区间+∞)上一致连续 证明:因为x,x"∈+∞),有 所以E>0,取6=E2,对vx,x"∈[+∞),只要x-x<,就有 因此√x在区间[+)上一致连续 4.(§2第13题)证明:f(x)=x2在区间口b上一致连续,但在区间(∞,+)上不 致连续 证明:由/(x)=x2在区间[小上连续,故f(x)=x2在区间[ab]上一致连续 下证f(x)=x2在区间(∞+∞)上不一致连续 取E0=1,取 xn=n+-,则x-x 于是∨6>0,存在n,使得x-x=1<6,但 no 所以/(x)=x2在区间(-∞+∞)上不一致连续 5.(总练习题第8题)设∫在]上连续,f()=f(1)证明:对任何正整数n,存在 5∈0,使得 5+|=(5) 66 当 ( ) 0 1 0 y  x , 时，有 ( )− ( )   0 f y g x （1） ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 2 0 0 1 0 x  x , , x ,   x , ，当 ( ) 0 2 0 y   x , 时，（1）成立，从而 ( )− ( )   → 0 0 lim f y g x y x 即 ( )− ( )   0 g x g x 因此 g(x) 在点 0 x 连续，由 0 x 的任意性， g(x) 为连续函数. 3．（§2 第 12 题）证明： f (x) = x 在区间 0,+) 上一致连续. 证明：因为  , 0,+) / // x x ，有 ( ) / // / // / // 2 / // x − x  x − x x + x = x − x 所以   0 ，取 2  =  ，对  , 0,+) / // x x ，只要 −   / // x x ，就有 −   / // x x 因此 x 在区间 0,+) 上一致连续. 4．（§2 第 13 题）证明： ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上一致连续，但在区间 (− ,+) 上不一 致连续. 证明：由 ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上连续，故 ( ) 2 f x = x 在区间 a,b 上一致连续 下证 ( ) 2 f x = x 在区间 (− ,+) 上不一致连续. 取  0 = 1 ，取 n x n n xn n n 1 , / 2 // = + = + ，则 n x x n n / // 1 − = 于是   0 ，存在 0 n ，使得 − =   0 / // 1 0 0 n x x n n ，但 ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 2 0 0 / / / 1 3 2 2 1 0 0 = +  =          − +         − = + n n n n f xn f xn n 所以 ( ) 2 f x = x 在区间 (− ,+) 上不一致连续. 5．（总练习题 第 8 题）设 f 在 0,1 上连续， f (0) = f (1).证明：对任何正整数 n ，存在  0,1 ，使得  f ( ) n f  =      + 1