第六部分曲线积分与曲面积分第5页共40页 8原1-cos°-sin°3 sin ecos 0de 2452 1-(cos 0+sin 0)(cos+0-cos0sin20+sin")sin A cos ede 24J2(cos 0+sin 0)-cos8+cos8sin8-sin*0)sin 0 cos ]d0 24√3 os-6d0=6 (26)d= 7.计算/=3xyax-x3dy,其中L是从点(0.0)经过点(1,0)到点(0,0)的折线段 解设l:y=0,x从0到1;L2:x=1,y从0到1。根据路径可加性,得 =l13x2yk-x2h+23xyk-x2bh=0+(-=-1 8.设L是圆周x2+y2=2x,则f-yz+xd 解1根据格林公式,得 x+xd=[1-(-1)c=2r 解2由于n={x-1,y是L的外向单位法向量,所以z={-y,x-1}就是L的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系,得 f-zx+xd=f-zx+(x-1)+fd=f(-y)2d+(x-1)2d+0=2r 9.计算=5y2xd-x2yzhx,其中L是圆周x2+y2=a2,顺时针方向为正。 x= a cost 解1取L的参数方程为 t从0到-2丌,则 y=asin 1, I=fy2xdy-x ydx 5o [(asin 1)a cost a cost-a cost)asin t(-asin t)]dr a 解2由于y2x,-x2y具有一阶连续偏导数,并注意到L的方向,根据格林公式得第六部分 曲线积分与曲面积分 第 5 页 共 40 页 5       。                             3 2 3 24 3 sin cos 6 3 sin (2 ) 24 (cos sin ) cos cos sin sin ) sin cos 24 1 (cos sin )(cos cos sin sin ) sin cos 8 1 cos sin 3sin cos 8 1 20 2 20 2 2 20 2 2 4 2 2 4 20 2 2 4 2 2 4 20 6 6 2 2 =  =  = =  + − + − =  − + − + =  − − =  − − d d d d d S x y dl L 7．计算 =  − L I x ydx x dy 2 3 3 ，其中 L 是从点 (0,0) 经过点 (1,0) 到点 (0,0) 的折线段。 解 设 0, L1：y = x 从 0 到 1 ； L x 1, y 2： = 从 0 到 1 。根据路径可加性，得 3 3 0 ( 1) 1 1 0 1 0 2 3 2 3 1 2 I =  x ydx − x dy +  x ydx − x dy =  dx +  − dy = − L L 。 8．设 L 是圆周 x y 2x 2 2 + = ，则  − + = L ydx xdy 2 。 解 1 根据格林公式，得 [1 ( 1)] 2 2 2 2  − + =  − − = L x +y  x ydx xdy dxdy 。 解 2 由于 n = {x −1, y}  是 L 的外向单位法向量，所以  = {−y, x −1}  就是 L 的正向单位法 向量。根据两类曲线积分之间的关系，得 ( 1) ( ) ( 1) 0 2 2 2  − + =  − + − +  =  − + − + = L L L L ydx xdy ydx x dy dy y dl x dl 。 9．计算 =  − L I y xdy x ydx 2 2 ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a ，顺时针方向为正。 解 1 取 L 的参数方程为    = = sin , cos , y a t x a t t 从 0 到 − 2 ，则   。  2 4 0 4 2 2 0 2 2 2 2 2 1 (sin 2 ) 2 1 [( sin ) cos cos ( cos ) sin ( sin )] a t dt a a t a t a t a t a t a t dt I y xdy x ydx L =  = − =  − − =  − − − 解 2 由于 y x x y 2 2 ,− 具有一阶连续偏导数，并注意到 L 的方向，根据格林公式得