第六部分曲线积分与曲面积分第6页共40页 I=fy xdy-x ydx ∫y2-(-x2)x a丌 10.计算=∫(2xy+e)x-(cosy-xe"),其中L从点(-1)沿曲线y=x2到点 (0,0),再沿直线y=0到点(2,0)。 解1设L1从点(-1)沿曲线y=x2到点(00);L2从点(00)沿直线y=0到点(2,0)。则 I=J(12xy+e )dx-(cos y-xe )dy+j(12xy+e")dx-(cos y-xe")dy L L, =(1012x3+e2)-(cosx2-xc2)2xhx+a sin S(e +2x e )dx+sin 1-1 由于2￥e=xb-2,所以e2+2)hk=e,从而 e 解2设L1从点(-2,0)沿直线x=2到点(2,1);L2从点(2,1)沿直线y=1到点(-1),L与 L1和L2围成的区域记为D。根据格林公式得 =∫(12xy+e)dx-(c L+L+L2 J(12xy+e )dx-(cos y-xe")dy L y (e'-12x-e)dxdy+S(cos y-2e"dy -52(12x+e)d 21+(sn1+2-2e)-(-3e-18) 计算=r(x-y)dtx+(x+y) ,其中L是曲线y=x2-2从点A(-2,2)到点B(2,2) 的一段 解1记X(x,y)=3,Y(x,y)=+,,当(xy)≠(0)时,有第六部分 曲线积分与曲面积分 第 6 页 共 40 页 6 0 2  0 2 4  。 2 2 2 2 2 1 [ ( )] 2 2 2 d r rdr a y x dxdy I y xdy x ydx a x y a L = −  = − = −  − − =  − +  10．计算 =  + − − L y y I (12xy e )dx (cos y xe )dy ，其中 L 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ，再沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。 解 1 设 L1 从点 (−1,1) 沿曲线 2 y = x 到点 (0,0) ； L2 从点 (0,0) 沿直线 y = 0 到点 (2,0) 。则 ( 2 ) sin 1 1， ( 2 ) sin 1 1 [(12 ) (cos )2 ] (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 0 2 0 1 2 2 0 0 1 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 =  + + − =  + + − =  + − − +  =  + − − +  + − − − − e x e dx e x e dx x e x x e x dx dx I x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy x x x x x x L y y L y y 由于  = −  1 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2x e dx xe e dx x x x ，所以 e x e dx e x x  + = 1 0 2 ( 2 ) 2 2 ，从而 I = sin1+ e −1。 解 2 设 L1 从点 (−2,0) 沿直线 x = 2 到点 (2,1) ； L2 从点 (2,1) 沿直线 y = 1 到点 (−1,1) ，L 与 L1 和 L2 围成的区域记为 D 。根据格林公式得 21 (sin 1 2 2 ) ( 3 18) sin 1 1。 ( 12 ) (cos 2 ) (12 ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) (12 ) (cos ) 1 2 1 0 2 1 1 2 = − + + − − − − = + − =  − − +  − −  + −  + − − −  + − − =  + − − − + + e e e e x e dxdy y e dy x e dx x y e dx y x e dy x y e dx y x e dy I x y e dx y x e dy y D y y L y y L y y L L L y y 11．计算  + − + + = L x y x y dx x y dy I 2 2 ( ) ( ) ，其中 L 是曲线 2 2 y = x − 从点 A(−2,2) 到点 B(2,2) 的一段。 解 1 记 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x y Y x y x y x y X x y + + = + − = ，当 (x, y)  (0,0) 时，有