第六部分曲线积分与曲面积分第7页共40页 ar(x,y) xy 令L1是折线段A(-2,2)→C(-2,-2)→D(2.-2)→B(2,2),则根据格林公式易知 (x-y)dx+(x+y (x-y)dx+(x+ y)dy x x+2 d+上2 d+12 2+ydy 解2令L1是直线段A-22)→B(2,2),L2是圆周x2+y2=r2,r足够小。由于当 (x,y)≠(0,0)时,有 xy (x2+y2) 所以根据格林公式得 /=((r-y)dx+(x+y)dy (x-y)dx +(x+ y)dy +/(x-ydx +(x+ydy L2 dx+o(x-y)dx+(x+y)dy +2丌=-丌。 设在全个面内有连峡的一阶偏学数,且满2a,C 为包围原点的正向简单闭曲线,计算I=5 (xv- yu )dx+(xu+y 解记l=fX(x,y)+Y(x,y)h,其中X(x,y)=-厘,Y(x,y)=x+。由于第六部分 曲线积分与曲面积分 第 7 页 共 40 页 7 y X x y x y y x xy x Y x y   = + − − =   ( , ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 。 令 L1 是折线段 A(−2,2) → C(−2,−2) → D(2,−2) → B(2,2) ，则根据格林公式易知  + − + + =  + − + + = 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) L L x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I  。 2 3 4 1 6 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  = + =  + +  + + +  + + − + = − − − − dy y dy y y dx x x dy y y 解 2 令 L1 是直线段 A(−2,2) → B(2,2)， L2 是圆周 2 2 2 x + y = r ，r 足够小。由于当 (x, y)  (0,0) 时，有         + −   = + − − =         + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y x y x y y y x x y x y x y x ， 所以根据格林公式得   。  2 3 2 2 ( ) ( ) 1 4 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + =  +  − + + + − =  + − + +  + + − + + =  + − + + = − L L L L x y dx x y dy r dx x x x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy x y x y dx x y dy I 12．设 u(x, y), v(x, y) 在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足 x v y u y v x u   = −     =   , ，记 C 为包围原点的正向简单闭曲线，计算  + − + + = C x y xv yu dx xu yv dy I 2 2 ( ) ( ) 。 解 记 =  + C I X (x, y)dx Y(x, y)dy ，其中 2 2 2 2 ( , ) , ( , ) x y x u yv Y x y x y xv yu X x y + + = + − = 。由于