第六部分曲线积分与曲面积分第8页共40页 ax(x,y)(xvy-yuy -u(x+y)-2yxv- yu) MYj +(y )u-2xy (x2+y2)2 aY(x,y)(xux+yx(x+y)+y-x )u-2xyn 且2=vy,u2=-,,所以当x2+y2≠0时 aX(x,y) ar(x, y) 任取r>0充分小,记C为圆周x2+y2=r2,并取逆时针方向,根据格林公式可知 a-c X(x, y)dx+Y(x, y)dy=0, MI=fc X(x, y)dx+Y(x,y)dy x=rcos 令C 6:0 rsin 0 =h -Icos, y-rsin e.u)-(sin 0)r+(rcos 0. u+r sin 0v)rcoselde =2 u(rcos t, rsin 0)d=2m(rcos5,rsn2.0≤5≤2z 由于与r的值无关,令r→>0,得=2l(00) 13.计算I=∫ ey cos x-qyd+esnx-b(x+y)],其中L为4x2+9y2=36在第 一象限中的部分,方向为从点(3,0)到(0,2)。 解1由于曲线积分l1=∫e’cosx-bylx+le'sinx-b(x+y)h与路径无关,所以 11=5cos xdx+o(-by)dy=-sin 3-2b 又y=原2smt:(-3mh=3,所以 1 )∫yat=r(a-b)-2b 解2取L1是从点(0,2)经点0)到点(30),根据格林公式,得第六部分 曲线积分与曲面积分 第 8 页 共 40 页 8 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 ( ) ( , ) x y x v yu u x y y x v yu y X x y y y + − − + − − =   2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 x y x v yu x y y x u xyv y y + − + + − − = ， 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( )( ) ( ) 2 x y x u yv x y y x u xyv x Y x y x x + + + + − − =   ， 且 x y y x u = v ,u = −v ，所以当 0 2 2 x + y  时， x Y x y y X x y   =   ( , ) ( , ) 。 任取 r  0 充分小，记 Cr 为圆周 2 2 2 x + y = r ，并取逆时针方向，根据格林公式可知，  ( , ) + ( , ) = 0 C−Cr X x y dx Y x y dy ，故 =  + Cr I X(x, y)dx Y(x, y)dy 。 令 Cr ：     , 0 2 sin cos →    = = ： y r x r ，则  =  −   − +  +          2 0 2 [ cos sin ) ( sin ) ( cos sin ) cos ] 1 r v r u r r u r v r d r I =  =            2 0 u(r cos ,rsin )d 2 u(r cos ,rsin ), 0 2 。 由于 I 与 r 的值无关，令 → + r 0 ，得 I = 2 u(0,0) 。 13．计算 =  − + − + L y y I [e cos x ay]dx [e sin x b(x y)]dy ，其中 L 为 4 9 36 2 2 x + y = 在第 一象限中的部分，方向为从点 (3,0) 到 (0,2) 。 解 1 由于曲线积分 =  − + − + L y y I [e cos x by]dx [e sin x b(x y)]dy 1 与路径无关，所以 I cos xdx ( by)dy sin 3 2b 2 0 0 1 3 =  +  − = − − 。 又   2 3 2 2sin ( 3sin ) 0  ydx =  t − t dt = − L ，所以 ( ) 2 sin 3 2 3 ( ) I = I1 + b − a  ydx = a − b − b − L  。 解 2 取 L1 是从点 (0,2) 经点 (0,0) 到点 (3,0) ，根据格林公式，得