第六部分曲线积分与曲面积分第9页共40页 i= [e cos x-ay]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J[e cos x- ay ]dx +[esin x-b(x+ y)]dy J(a-b)drdy-52Gby )dy-focosxdx 3×2m(a-b)-2b-sn3 b)-2b-sin 3 14.设L是右半平面(x>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d)。证明曲 线积分1=口+x2sm(xy)l+[x2sm(xy)-1tx与路径无关,并求/的值。 解1因为 +x sin( xy)=sn( xy)-+xycos(xy) in( xy)-1 在右半平面内处处成立,所以曲线积分在右半平面内与路径无关。 取L为从点(a,b)经过点(c,b)到点(c,d)的折线段,得 [+ y Lx sin( xy)-ldx Sa5[x sin( bx)-1]dx+ -[l+c sin( cy )]dy cos(bx)la+[ s(cy) db+cos(ab)-cos(cd)。 解2因为 -[+xsin( xy)]dy+[ sin( xy)-l]dx dh sin( xy)d(xy)+d(-) dL-cos(xy)第六部分 曲线积分与曲面积分 第 9 页 共 40 页 9 ( ) 2 sin 3。 2 3 3 2 ( ) 2 sin 3 4 1 ( ) ( ) cos [ cos ] [ sin ( )] [ cos ] [ sin ( )] 3 0 0 2 1 1 = − − − =   − − − =  − −  − −  −  − + − + =  − + − + + a b b a b b a b dxdy by dy xdx e x ay dx e x b x y dy I e x ay dx e x b x y dy D L y y L L y y   14．设 L 是右半平面 (x  0) 内的有向分段光滑曲线，起点为 (a,b) ，终点为 (c, d ) 。证明曲 线积分 =  + + − L x x y dx x y x x y dy x I [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 与路径无关，并求 I 的值。 解 1 因为           −   = − + =       +   cos( ) sin( ) 1 1 1 sin( ) sin( ) 1 2 2 2 2 x x y x y y x y x y x x x y x y x x 在右半平面内处处成立，所以曲线积分 I 在右半平面内与路径无关。 取 L 为从点 (a,b) 经过点 (c,b) 到点 (c, d ) 的折线段，得 cos( ) cos( )。 [ cos( )] [ cos( )] [1 sin( )] 1 [ sin( ) 1] [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 2 2 ab cd a b c d cy c y bx x b c cy dy c x bx dx x b x x y dx x y x x y dy x I d b c a d b c a L = − + − = − + − =  − +  + =  + + − 解 2 因为 [ cos( )]， sin( ) ( ) ( ) sin( )( ) [1 sin( )] [ sin( ) 1] 1 2 2 2 2 x y x y d x y x y d x y d x xdy ydx x y y dx xdy x x y dx x y x x y dy x = − = + − = + + + + −