l= ds 由重心公式有 x11+()2 L 由于只需探讨曲线重心的高低,所以只对纵坐标的公式进行分析,注意到问题的表述,说明 L是常数,不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函,记作 J(v(x)=[y(x)1+(y)d 此时对应的欧拉方程(8)可化为 yy-(y)2-1=0 令 解得y2=k(1+p2),k>0,进而得 √k(x 此即为悬链线,它使重心最低,势能最小!大自然中的许多结构是符合最小势能的,人们称 之为最小势能原理。 14泛函极值问题的补充 14.1泛函极值的几个简单推广 (i)含多个函数的泛函 使泛函 J(x)=(x))= F(x,y, y, i,= )dx 取极值且满足固定边界条件 (x1)=y12y(x2)=y2,=(x1)==12x(x2 的极值曲线y=y(x),z=2(x)必满足欧拉方程组 d F-F.=0 (i)含高阶导数的泛函 使泛函 J(y(x)= F(x, y,y, y")d 取极值且满足固定边界条件8 则   = = + b a b a dx dx dy L ds 2 1 ( ) 由重心公式有 L dx dx dy x x b a + = 2 1 ( ) ， L dx dx dy y y b a + = 2 1 ( ) 由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明 L 是常数，不难看出重心的纵坐标是 y(x)的最简泛函，记作  = +  b a J y x y x y dx 2 ( ( )) ( ) 1 ( ) 此时对应的欧拉方程（8）可化为 ( ) 1 0 2 yy  − y  − = 令 dx dy p = 解得 (1 ), 0 2 2 y = k + p k  ，进而得 [ ( )] 1 ch k x c k y = + 。 此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称 之为最小势能原理。 1.4 泛函极值问题的补充 1.4.1 泛函极值的几个简单推广 （ⅰ）含多个函数的泛函 使泛函  = 2 1 ( ( ), ( )) ( , , ' , , ') x x J y x z x F x y y z z dx 取极值且满足固定边界条件 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) . 1 1 2 2 1 1 2 2 y x = y y x = y z x = z z x = z 的极值曲线 y = y(x),z = z(x) 必满足欧拉方程组        − = − = 0 0 ' ' z z y y F dx d F F dx d F （ii）含高阶导数的泛函 使泛函  = 2 1 ( ( )) ( , , ' , ") x x J y x F x y y y dx 取极值且满足固定边界条件