y(x1)=y1,y(x2)=y2,y(x1)=y1,y(x2)=y2 的极值曲线y=y(x)必满足微分方程 Fy-,Fy F.=0 (i)含多元函数的泛函 设x(x,y)∈c2,(x,y)∈D,使泛函 (=(x, D)=[FC Dandy 取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数二=x(x,y)必满足方程 F-F-F=0 上式称为奥式方程。 142端点变动的情况(横截条件) 设容许曲线x()在t0固定,在另一端点t=1时不固定,是沿着给定的曲线x=v(1)上 变动。于是端点条件表示为 X x(1)=v() 这里t是变动的,不妨用参数形式表示为 寻找端点变动情况的泛函极值必要条件,可仿照前面端点固定情况进行推导,即有 (t,x+aox, i+aa)dt (F,-FM山+F(+F, (9) 再对(9)式做如下分析 (i)对每一个固定的t,x()都满足欧拉方程,即(9)式右端的第一项积分为零 (ⅱ)为考察(9)式的第二、第三项,建立d,与a,之间的关系,因为 x(t,+adt )+aa(t, +adt,)=v(t, +adt,) 对a求导并令a=0得 x(t,)dt,+&x9 1 1 y(x ) = y , 2 2 1 1 2 2 y（x ）= y ，y'(x ) = y' , y'(x ) = y' 的极值曲线 y = y(x) 必满足微分方程 " 0 2 2 y − y' + Fy = dx d F dx d F （iii） 含多元函数的泛函 设 z(x, y)c ,(x, y)D 2 ，使泛函  = D J (z(x, y)) F(x, y,z,z x ,z y )dxdy 取极值且在区域 D 的边界线 l 上取已知值的极值函数 z = z(x, y) 必满足方程 = 0   −   − x y z z Fz y F x F 上式称为奥式方程。 1.4.2 端点变动的情况（横截条件） 设容许曲线 x(t) 在 0 t 固定，在另一端点 f t = t 时不固定，是沿着给定的曲线 x =(t) 上 变动。于是端点条件表示为    = = ( ) ( ) ( ) 0 0 x t t x t x  这里 t 是变动的，不妨用参数形式表示为 f dt f t = t + 寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有 0 0 ( , , ) 0 = + + +   = =         J F t x x x x dt f dt f t t   f t t t t x t t x Fx xdt F x F dt dt d F f f f = = = − + +     0 ( ) （9） 再对（9）式做如下分析： （i）对每一个固定的 f t ， x(t) 都满足欧拉方程，即（9）式右端的第一项积分为零； （ii）为考察（9）式的第二、第三项，建立 f dt 与 f t t x =  之间的关系，因为 ( ) ( ) ( ) f f f f f dt f x t +dt + x t +dt = t + 对  求导并令  = 0 得 f f t t x t f dtf x t dt f ( ) + =( ) = 即