c=D()-6( (10) 把(10)代入(9)并利用dtr的任意性,得 [F+(v-x)Fl=,=0 (11) (11)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件,称为横截条件。 横截条件有两种常见的特殊情况: (i)当x=v(1)是垂直横轴的直线时,t固定,x()自由,并称x()为自由端点 此时(9)式中d=0及x_的任意性,便得自由端点的横截条件 (12) (i)当x=v(1)是平行横轴的直线时,t自由,x()固定,并称x(1r)为平动端点 此时ψ=0,(11)式的横截条件变为 xrststf 0 (13) 注意,横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 143有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中,常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题,其典型形式是对动态系 x(1)=f(1,x(1),() (14) 寻求最优性能指标(目标函数) J(l()=o(tr;,x(t1)+|F(1,x(1),()d (15) 其中以()是控制策略,x(1)是轨线,t固定,t及x()自由,x(1)∈R”,()∈Rm(不 受限,充满R″空间),∫,,F连续可微 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略'(1)和最优轨线x'(1)的必要条件。 采用拉格朗日乘子法,化条件极值为无条件极值,即考虑 J1(x)=(x(,)[F(x)+2(X(x,n)-t 的无条件极值,首先定义(14)式和(15)式的哈密顿( Hamilton)函数为 H(,x,l,4)=F(t,x,u)+(1)f(t,x,l) (19)(17) 将其代入(16)式,得到泛函 J(x,u,)=0(t1;,x(t)+[H(t,x,u,)-2+t (20)(18)10 f f f t t x t x t dt f = [ ( ) − ( )] =   （10） 把（10）代入（9）并利用 f dt 的任意性，得 [ + ( − ) ] = = 0 f Fx t t F x    （11） （11）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。 横截条件有两种常见的特殊情况： （i）当 x =(t) 是垂直横轴的直线时， f t 固定， ( ) f x t 自由，并称 ( ) f x t 为自由端点。 此时（9）式中 dt f = 0 及 f t t x =  的任意性，便得自由端点的横截条件 = = 0 f Fx t t （12） （ii）当 x =(t) 是平行横轴的直线时， f t 自由， ( ) f x t 固定，并称 ( ) f x t 为平动端点。 此时   = 0 ，（11）式的横截条件变为 − = = 0 f Fx t t F x   * （13） 注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。 1.4.3 有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系 统 x (t) = f (t, x(t),u(t)) * （14） 寻求最优性能指标（目标函数）  = + f t t J u t t f x t f F t x t u t dt 0 ( ( )) ( , ( )) ( , ( ), ( )) * （15） 其中 u(t) 是控制策略， x(t) 是轨线， 0 t 固定， f t 及 ( ) f x t 自由， n x(t) R ， m u(t) R （不 受限，充满 m R 空间）， f ,,F 连续可微。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 ( ) * u t 和最优轨线 ( ) * x t 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑  = + + − f t t T J x u t f x t f F t x u t f t x u x dt 0 ( , , ) ( , ( )) [ ( , , ) ( )( ( , , ) )] 1     （16） 的无条件极值，首先定义（14）式和（15）式的哈密顿（Hamilton）函数为 H(t, x,u, ) F(t, x,u) (t) f (t, x,u) T  = +  （19）（17） 将其代入（16）式，得到泛函  = + − f t t T J x u t f x t f H t x u x dt 0 ( , , ) ( , ( )) [ ( , , , ) ] 1      （20）(18)