∞<x<+ct=1,2 我们称X服从多元正态分布,记为X~Nμ,2),不强调维数可记 为X~N(u,2),X称为p维正态变量 现求X的均值与协方差矩阵 设X~N2(,2,则E(X)=H,D(X)=2 证明:X~N2(,E),X的概率密度函数为 p (X-p)2(x- (2 因∑为正定矩阵,存在可逆矩阵A,使E=AA,这时∑1=(A) A-1,|2=1A12,|Σ1t=|A|-.令 A(X-p=Y,或X=AY十 该变换的雅可比式为 a( a( A,1|=|A|=|2 在此变换下,得Y的概率密度函数为 g(yt,“yp (27∞1-2(x-E(x-pD}1 exp YY}|2 2 (2x)分p/ 即Y=(y1,…,yy~N2(0,D),因y;…,y独立同分布N(0,1), 所以有 E(Y)=0,D(Y)=I。 而因X=AY+J,从而 E(X)=E(AY+u)=AEY+A=u D(X)=E[(X-4)(X-p)]=E[(AY)(AY) FADCAEAA=2 定理证毕