【解析】设体系始态和终态的熵值分别为S,、S2,由Bolzemann定理，得 S=kln2,S2=kln22,式中k为Bolzemann常数，其值为1.38×10-23J.K-1 故△S=kln 2,0.418K-=1.38x10-3JK1n 22 2 2 解得， 2=eo 2 体系微观状态数增加得倍数为： △2、22=eo- 212 【3】在海平面上大气的组成用体积分数可表示为：N2(g)为0.78，O2(g)为0.21， 其他气体为0.01。设大气中个气体都符合Bolzemann分布，假设大气柱在整个高度内的平 均温度为220K。试求：这三类气体分别在海拔10Km,60Km和500Km处的分压，已知重 力加速度为9.8m·s2。 【解析】由Bolzemann分布规律，P=P·eT,则对于N2,在海拔10Km,60Km和50OKm 处大气压的值分别为： 28x10-kg.molx9.8msx10x1m PoKm =0.78pe 8314J-K-.mx20K =0.1740p9 28x10-3 kgmox9mx60x10m PooKm =0.78pe 8.314Kmor×220K =9.61×10-p° 28x10-3 kg-molx×9.8ms2x500103m P0Km=0.78p2.e8314K-mrx220K =2.0677×10-33p9 对于O2,在海拔10Km,60Km和500Km处大气压的值分别为： 32x10-3kg-molx9.8msx10x10m PoKm =0.21pe 8314J-KmoFx220K =0.0378p 32x10-3 kg.mol×9.8ms2×60x103m =0.21pe 314J-Km220 =7.15×106p° 32x10-3gmo广×9.8ms2x500x103m P5o0Km =0.21p0.e $314J-K-mF220K =1.2354×10-38p 对于其他气体，M其他=44，在海拔10Km,60Km和500Km处大气压的值分别为： 44x10-3k3mo×9.8m-s2x10x103m 0Km=0.01p2e8.314wK-morx×220K =0.0009p° 44x10-3kgmoΓ×9.8ms2×60x103m PoKm =0.01pe 8314J-m220 =7.19×10-9p 44×10-3gmo厂×9.8ms2×500x103m P0m=0.01P2.e8314K-mr220K =6.4300×10-54p9 【4】对于双原子气体分子设基态振动能为零，e≈1+x试证明： (1)U,=NkT;(2)U,=NkT; >7 【解析】设体系始态和终态的熵值分别为 1 S 、 2 S ，由 Bolzemann 定理，得 1 1 S k = ln ， 2 2 S k = ln ，式中 k 为 Bolzemann 常数，其值为 23 1 1.38 10 J K − −   故 2 1 S k ln   =  ， 1 23 1 2 1 0.418 1.38 10 ln J K J K − − −  =   解得， 22 2 3 10 1 e   =  体系微观状态数增加得倍数为： 22 2 3 10 1 1 e     =   【3】在海平面上大气的组成用体积分数可表示为：N2（g）为 0.78，O2（g）为 0.21， 其他气体为 0.01。设大气中个气体都符合 Bolzemann 分布，假设大气柱在整个高度内的平 均温度为 220K。试求：这三类气体分别在海拔 10Km，60Km 和 500Km 处的分压，已知重 力加速度为 9.8m·s -2。 【解析】由 Bolzemann 分布规律， 0 Mgh RT P P e i − =  , 则对于 N2, 在海拔 10Km，60Km 和 500Km 处大气压的值分别为： 3 1 2 3 1 1 28 10 9.8 10 10 8.314 220 10 0.78 0.1740 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    = = 3 1 2 3 1 1 28 10 9.8 60 10 8.314 220 5 60 0.78 9.61 10 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    − = =  3 1 2 3 1 1 28 10 9.8 500 10 8.314 220 33 500 0.78 2.0677 10 kg mol m s m J K mol K P P e P Km   − − − − −       −    − =  =  对于 O2, 在海拔 10Km，60Km 和 500Km 处大气压的值分别为： 3 1 2 3 1 1 32 10 9.8 10 10 8.314 220 10 0.21 0.0378 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    = = 3 1 2 3 1 1 32 10 9.8 60 10 8.314 220 6 60 0.21 7.15 10 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    − = =  3 1 2 3 1 1 32 10 9.8 500 10 8.314 220 38 500 0.21 1.2354 10 kg mol m s m J K mol K P P e P Km   − − − − −       −    − =  =  对于其他气体, M其他 = 44，在海拔 10Km，60Km 和 500Km 处大气压的值分别为： 3 1 2 3 1 1 44 10 9.8 10 10 8.314 220 10 0.01 0.0009 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    = = 3 1 2 3 1 1 44 10 9.8 60 10 8.314 220 9 60 0.01 7.19 10 kg mol m s m J K mol K P p e p Km   − − − − −       −    − = =  3 1 2 3 1 1 44 10 9.8 500 10 8.314 220 54 500 0.01 6.4300 10 kg mol m s m J K mol K P P e P Km   − − − − −       −    − =  =  【4】对于双原子气体分子设基态振动能为零， 1 x e x  + 试证明： （1） U NkT r = ； （2） U NkT V = ；