因∑p"(p<1)收敛,故由引理有(应用于(1)式) f((=-=0)” 多SN4=2 (2) ∫(5) f(2)(z-0 ds f(=) ∑∫"(=a)(z-=0) 令f(2)=∑Cn(-=0)” 则因为幂级数在收敛圆内可逐项求导,有 f(n(=)=川!Cn+(n+1)Cn+1(=-=0)+ f"(-)=m!Cn 于是 即展开式唯 由此定理可知,求解析函数在二0点的泰勒级数展开式,无需验证R(=)→0 设二1为距点0最近的(2)的奇点。 令|=1-=0}R,则R为f(z)在z0点的泰勒级数的收敛半径。初等函数的泰勒展开式 直接法 例。求e在z=0处的泰勒展开式 解:(e-)")= f(0) 从而因 ( 1) 0    =   n n 收敛，故由引理有（应用于（1）式）    = + − − = − 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )( ) n C n n C d z f z z d z f       （2） 即     = + − − = − 0 1 0 0 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) n C n n i C i d z f z z d z f         f (z) =   =  − 0 0 0 ( ) ! 1 ( ) ( ) n n n n f z z z 令   = =  − 0 0 ( ) ( ) n n n f z C z z 则因为幂级数在收敛圆内可逐项求导，有 f (n) (z) = n!Cn  + (n +1)!Cn+1 (z − z0 ) + 令 z= 0 z ,则 n n f (z) = n!C ( ) 于是 n n n C n f z C = = ! ( ) 0 ( ) 即展开式唯一。 由此定理可知，求解析函数在 0 z 点的泰勒级数展开式，无需验证 RN (z) → 0 设 1 z 为距点 0 z 最近的 f(z)的奇点。 令 | z1 − z0 |= R ，则 R 为 f(z)在 0 z 点的泰勒级数的收敛半径。初等函数的泰勒展开式 直接法 例。求 z e 在 z=0 处的泰勒展开式 解： z n z e = e （ ） ( ) ! 1 ! (0) ( ) n n f C n n = = 从而