1+z+二 f(=)=eˉ在全平面解析,R=+∞。 例求fz)=n(1+2)在z=0处的泰勒展开式 解:ln(1+2)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内解析。收敛半径为0到z=1的距离 R=0-(-1)=1 f"(O)=(-1)2(n-1) 最近的奇点 所以 Ca=0.C,=1 从而 例求(1+)°(a为复数)的主值分支 f()=em+),f(0)=1 在z=0处的泰勒展开式 解:f(二)=e)在从-1向左沿负轴剪开的平面处解析。 故R=1,令Q(=)=h1+ 则f()=e f'(=)=ae(a'(=) 1+z a ap()=a e f"(二)=a(a-1)e(a-2) C n+1)e= + + ++ + 2! ! 1 2 n z z e z n z z f (z) = e 在全平面解析， R = + 。 例 求 f(z)=ln (1+z)在 z=0 处的泰勒展开式 解：ln (1+z)在从-1 向左沿负实轴剪开的平面内解析。收敛半径为 z=0 到 z=-1 的距离。 R=|0-(-1)|=1 n n n z f z n ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1)! ( ) 1 + = − −  − -1  0 (0) ( 1) ( 1)! ( ) 1 = − − − f n n n 最近的奇点 所以 C0 = 0,C1 =1 n n f C n n n 1 ( 1) ! (0) 1 ( 1) = = −  − + （n=2, 3, …….） 从而   = − − + = 1 1 ( 1) ln(1 ) n n n z n z (|z|<1) 例 求 (1 ) (为复数)  + z 的主值分支。 ( ) , (0) 1 ln(1 ) = = + f z e f  z 在 z=0 处的泰勒展开式 解： ln(1 ) ( ) z f z e + =  在从-1 向左沿负轴剪开的平面处解析。 故 R=1，令 (z) = ln(1+ z), 则 ( ) ( ) z f z e  = ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) z z z z e e e e z f z e z             − = = +  =  = ( 2) ( ) ( ) ( 1) z f z e     −  = − ， …………………………….. ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) n n z f z n e      − = −  − +