令z=0,得 f(0=1,f(0)=a (x)=a(a-1) 1) 故 a(a-1) (=+1)=1+a a(a-1)…(a-n+1)2n+ (|z4<1) 间接法 例求sinz和cosz在z0处的泰勒展开式 smn二= 2n+1 cosz=(snz)=∑(-) 例求 e coS在z=0处的泰勒展开式 ∑=m+)”+(1-)" (|=k<+∞) 例求 arct z在z=0处的泰勒展开式 ∑(-1) areg=;=∑ (=k1) 例求∫()=在z=1处的泰勒展开式令 z=0，得 f(0)=1 , f (0) =  f (n) (z) =( −1)( − n +1), 故    + − − + + + − + = + + n z n n z z z ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( 1) 1   2      （|z|<1） 间接法 例 求 sin z 和 cos z 在 z=0 处的泰勒展开式 解： i e e z iz iz 2 sin − − =     = +  =  = + = − − = − 0 2 1 0 0 2 1 (2 1)! ( 1) ] ! ( ) ! ( ) [ n n n n n n n i n z n iz n iz   = =  = − 0 2 (2 )! cos (sin ) ( 1) n n n n z z z 例 求 e z z cos 在 z=0 处的泰勒展开式 解： e z z cos 2 iz iz z e e e − + =  （  +） = + + − = +   = + − | | [(1 ) (1 ) ] ! 1 [ ] 0 2 1 (1 ) (1 ) 2 1 z i i z n e e n n n n i z i z 例 求 arctg z 在 z=0 处的泰勒展开式 解：   = = − + 0 2 2 ( 1) 1 1 n n n z z (| | 1) 2 1 ( 1) 1 0 2 1 0 2  + − = + =    = + z z z n dz arctgz n n n z 例 求 z f z 1 ( ) = 在 z=1 处的泰勒展开式