第十讲留数定理及其应用 1.f(x)在上半,函除了有限个孤立奇点外是处处解析的,在作轴上没有奇点时 2.在0≤argz≤π范围内,当|2→∞时,zf(x)一致地趋于0,即对于任给的c>0,存在 M(=)>0,使当|2|≥M,0≤argz≤π时,|zf(2)<ε 这两个条件并不苛刻.第1个条件保证了原来的变积分不是极积分,并且以应用 留数定理计算围道积分 f(z)d f(a)d f(e)dz=27i res f(a) 上半以面 是算 第2个条件,首先是计为变穷积分的收敛条件 lim af(r) 的自然推广,同乘,两据s理32,又保证 f(2)dz=0. 取极限R→∞,就得到 f(x)d=2xi∑resf(2) 上半,函 例10.5计算定,分I dr 解此时显然符合上述要求的条件,故 2 (1+2)3 2./ 3i 最后,为了对用留数定理计算定。分的基本其想有一个比 的理解,不妨再重复一下 前函的三述: 例解 为了能够用留数定理计算无穷分,上们必须 1.定上理当的分点径而有成闭合围道,计算pf(2)d时 2.在定上的点径上的分,或式就所要求计算的无穷分直接相关 或式可以简单方便地计算出分Wu Chong-shi ￾✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■③❂❃✹❈✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂❅❛❜■❏✺✿❀♦ 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❻ ❫❆❂❭ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❼✘❽◗ 0 ❂ ❾➶ ◗❿➀★ ε > 0 ❂❲❅ M(ε) > 0 ❂❜❭ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➁î➂➃➄þ➅➆✷➇ 1 î➂➃➈➉ ➂ ➊➋⑦ ➌➍⑩❶þô➎⑩❶❂➄➏￾ é➐➑ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û➒➓ ➔ res f(z). ➇ 2 î➂➃❂→➣ô↔➁ ➌➍↕➙⑩❶⑦➛➜➂➃ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➝➞➟ ➠❂➡➢❂➤➥ ➦✈ 3.2 ❂➧➈➉ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➨ ➎✻ R → ∞ ❂r➩❷ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■③❂❃ res f(z). ➸ 10.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❩❬➫✴■➭ ✪ ➉★⑩❶❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3     z=i =2π i ·  − 3i 16 = 3 8 π. ✈ ④❂✫❈ ➶✿✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➯➲➳➵✺✬✼ ✮✯➸➺★♠❈❂❡❸➻➼❥✬➑ ➽ ❃★➾➭× ✫❈❮➚ ✿✐ ◆❄❧♠↔↕❰❯✦✭❂■❏❫❦× 1. ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ 2. ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂ ♣q➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷