10.3无穷积分 第8页 基于这样的理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积分 ★如果是f(x)偶函数,则对于积分f(x)dx,由于 I /G)dr=2// 所以仍然可以采用图10.2的围道,并重复上面的讨论,而得到 f(a)dz=2/ f()dr=ti res f(z) 上半平面 ★如果在积分f(x)dx中,被积画数f(2)具有某种对称性质,例女 f(2)=f(ze) 那么,也可以采用图10.3中的围道来计算 y 例10.6计算定积分 1+x4 解由于这里的被积函数f(x) 是x的函数,所以,我们可以采用图10.4的围道 沿正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点,这样,根据留数定理,有 fid itr+ida+fi idto 1⊥,4 =2mite1+2l=m2√2 取极限R→∞,因为 + 所以,根据引理3.2有 1+Wu Chong-shi §10.3 ❖P◗❘ ☛ 8 ☞ ➯◗ ➼⑥ ★♠❈❂r➒➓➪➶➹➘✘➴✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➷Úô f(x) ➬⑥ t ❂ ø➮ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ➱ é✃➞ ￾ é❐➑ ❒ 10.2 ⑦ ⑧⑨❂➄❮❰Û ➔ ⑦ÏÐ❂ÑÒÓ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û➒➓ ➔ res f(z). F ➷Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂Ô ⑩ ⑥ t f(z) Õ ❿ Ö×➮ØÙÚ❂Û➷ f(z) = f(ze iθ ), Ü Ý❂ÿ￾ é❐➑ ❒ 10.3 å⑦ ⑧⑨➋➃➄✷ ❱ 10.3 ❱ 10.4 ➸ 10.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ➺ ◆ ◗ ➼➘★Þ✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓ß ✐❪ 10.4 ★ ❫❒× ❴➴❛❜ ◆ 0 ❷ R ❂❴ ❅à❷á➴â❜❂➻❴➴â❜ ◆ iR ã❷➊ ❀✷➼⑥ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 = 2π i res 1 1 + z 4     z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ä♠ 3.2 ❂✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0