高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学谢锡麟 016年3月15日 1知识要素 11曲面的切平面与法向量 定义1.1(曲面).一般地,m+1维 Euclid空间中的m维曲面可以由以下向量值映照给出 ∑(xy):RDx3m= +∑(xy)全 xn(ag)∈Rm+1, +1 如图1所示 r-曲线 曲线 图1:有限维 Euclid空间中曲面向量值映照示意 该曲面∑(xy)的 Jacobi矩阵可以表示为 D∑(xx)= ∈R(m+1)xm a∑m+1 0∑m ax dxf微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——曲面向量值映照 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 曲面的切平面与法向量 定义 1.1 (曲面). 一般地, m + 1 维 Euclid 空间中的 m 维曲面可以由以下向量值映照给出 Σ(xΣ) : R m ⊃ Dx ∋ xΣ =   x 1 Σ . . . x m Σ   7→ Σ(xΣ) ,   X1 . . . Xm Xm+1   (xΣ) ∈ R m+1 , 如图1所示. X1 Xm Xm+1 O xm Σ -曲线 x 1 Σ-曲线 g1 gm n g1 gm n g1 gm n g1 gm n O x 1 Σ . . . x m−1 Σ xm Σ 图 1: 有限维 Euclid 空间中曲面向量值映照示意 该曲面 Σ(xΣ) 的 Jacobi 矩阵可以表示为 DΣ(xΣ) =   ∂Σ1 ∂x1 Σ · · · ∂Σ1 ∂xm Σ . . . . . . ∂Σm+1 ∂x1 Σ · · · ∂Σm+1 ∂xm Σ   ∈ R (m+1)×m, 1