高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 令DXx)=(91(x) 其中 ∑( 9(xx) 入 (cy)∈R O∑m+1 称为曲面∑(xx)在x点处沿坐标线x的切向量 使得D∑(xx)为列满秩的点称为正则点 定义1.2(切空间).在曲面∑(xx)的正则点处,切向量{g}1张成的空间称为切空间,记 作Txx∑ x222()=x(x) Xth 图2:曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照(如图2所示 F:a,月3入以2(=z4、/x3 ∈R (入 而该曲线在Rm+1空间可以表示为 F(≡X(=∑ox())=∑(xx(入) 其切向量可以表示为 T(入) (A)全1imx(+△A)-X(x) D(x2)2(A)=2()g1(x(X)∈T2E 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 令 DΣ(xΣ) = ( g1 (xΣ) · · · gm(xΣ) ) , 其中 gi (xΣ) , lim λ→0∈R Σ(xΣ + λii) − Σ(xΣ) λ =   ∂Σ1 ∂xi Σ . . . ∂Σm+1 ∂xi Σ   (xΣ) ∈ R m+1 称为曲面 Σ(xΣ) 在 xΣ 点处沿坐标线 x i Σ 的切向量. 使得 DΣ(xΣ) 为列满秩的点称为正则点. 定义 1.2 (切空间). 在曲面 Σ(xΣ) 的正则点处, 切向量 {gi} m i=1 张成的空间称为切空间, 记 作 TxΣ Σ. x 1 Σ x i Σ xm Σ O DxΣ ΓxΣ (λ) = xΣ(λ) =   x 1 Σ . . . xm Σ   (λ) λ a λ b Γx O X1 Xm Xm+1 Σ(xΣ) = X(xΣ(λ)) =   X1 . . . Xm+1   (xΣ(λ)) =: Γ(λ) Σ 图 2: 曲面上曲线示意 曲面上的曲线在参数空间可以表示为如下映照 (如图2所示): ΓxΣ : [α, β] ∋ λ 7→ ΓxΣ (λ) ≡ xΣ(λ) =   x 1 Σ(λ) . . . x m Σ (λ)   ∈ R m, 而该曲线在 R m+1 空间可以表示为 Γ(λ) ≡ X(λ) = Σ ◦ ΓxΣ (λ) = Σ(xΣ(λ)), 其切向量可以表示为 τ (λ) = dX dλ (λ) , lim ∆t→0∈R X(λ + ∆λ) − X(λ) ∆λ = DΣ(xΣ) dxΣ dλ (λ) = ˙x i Σ(λ)gi (xΣ(λ)) ∈ TxΣ Σ, 即曲面上曲线的切向量一定落在该曲面的切空间中. 2