高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 性质1.1(正则点法向量的唯一存在性).对曲面上的正则点,存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量 证明考虑到(m(xx),92(axy)gm+1=0,i=1,…,m等价于 (x)n(x)=(D∑)(xs)n(x)=0∈R 由于rank(D∑)(xx)=m,按齐次线性方程组理论,n∈Rm+1的方向唯一确定 基于法向量,正则点∑(xx)处的切空间可有如下的集合表示 TIsE=XI(X-2(ax), n()Rm+1=0 亦即有 (X1-∑(xx)n(x)+…(Xm+1-mn+(xx)nmn+l(xx)=0 12曲面的基本形式 定义13(曲面第一基本形式).由9(xx)=(91(xx),9(cx)em+1构成的m×m矩阵 911(ay) G(as) D∑1(xy)Dx(xx)∈Rmxm, 9m1(∑ gmm(ay) 称为曲面∑(x)的第一基本形式 性质1.2(曲面第一基本形式的对称性与正定性).曲面的第一基本形式矩阵G是对称矩阵; 在曲面的正则点处,曲面的第一基本形式矩阵G是对称正定矩阵 证明由内积的对称性,矩阵G的对称性是显然的 下面证明正定性.设∈Rm,则有 GE=Dx1DE=(D∑)(D∑) 1D∑El最m=(91)2≥ 在曲面的正则点处,有 rank>(xx)=m,即{g;(x)}m1线性无关.所以当EIG=(sg1)2= 0时,必然有ξ=0,i=1,……,m,即￡=0.因此矩阵G是对称正定矩阵 定义1.4(曲面的第二基本形式).令 ()=(bn(a),n() 9j(∑微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 性质 1.1 (正则点法向量的唯一存在性). 对曲面上的正则点，存在且唯一存在同正则点的正 交的法向量. 证明 考虑到 (n(xΣ), gi (xΣ))Rm+1 = 0, i = 1, · · · , m 等价于   g T 1 . . . g T m   (xΣ)n(xΣ) = (DΣ) T(xΣ)n(xΣ) = 0 ∈ R m, 由于 rank(DΣ) T(xΣ) = m, 按齐次线性方程组理论, n ∈ R m+1 的方向唯一确定. 基于法向量, 正则点 Σ(xΣ) 处的切空间可有如下的集合表示 TxΣ Σ = {X |(X − Σ(xΣ), n(xΣ))Rm+1 = 0}, 亦即有 ( X1 − Σ 1 (xΣ) ) n 1 (xΣ) + · · · ( Xm+1 − Σ m+1(xΣ) ) n m+1(xΣ) = 0. 1.2 曲面的基本形式 定义 1.3 (曲面第一基本形式). 由 gij (xΣ) = (gi (xΣ), gj (xΣ))Rm+1 构成的 m × m 矩阵 G(xΣ) =   g11(xΣ) · · · g1m(xΣ) . . . . . . gm1(xΣ) · · · gmm(xΣ)   = DΣT(xΣ)DΣ(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第一基本形式. 性质 1.2 (曲面第一基本形式的对称性与正定性). 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称矩阵; 在曲面的正则点处, 曲面的第一基本形式矩阵 G 是对称正定矩阵. 证明 由内积的对称性, 矩阵 G 的对称性是显然的. 下面证明正定性. 设 ∀ ξ ∈ R m, 则有 ξ TGξ = ξ TDΣTDΣξ = (DΣξ) T(DΣξ) = |DΣξ| 2 Rm = (ξ i gi ) 2 > 0. 在曲面的正则点处, 有 rankDΣ(xΣ) = m, 即 {gi (xΣ)} m i=1 线性无关. 所以当 ξ TGξ = (ξ igi ) 2 = 0 时, 必然有 ξ i = 0, i = 1, · · · , m, 即 ξ = 0. 因此矩阵 G 是对称正定矩阵. 定义 1.4 (曲面的第二基本形式). 令 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = − ( gj (xΣ), ∂n ∂xi Σ ) Rm+1 , 3