高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 并引入m×m矩阵 bum(as) =-D∑1(xx)·Dm(xy)∈Rmxm, 称为曲面∑(xy)的第二基本形式 性质13(曲面的第二基本形式的对称性).曲面的第二基本形式矩阵B是对称矩阵. 证明考虑到 y(2)=(an(m),n() ansar (as),n(as) ag bji (as) 所以曲面第二基本形式B是对称矩阵 13曲面的 Gauss曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论 引理14(同时对角化).设有对称正定矩阵A∈R×m和对称矩阵B∈Rm×m,则一定唯 存在一个非奇异的矩阵S∈Rmxm满足 SAS=Im s BS 式中,Im为m阶单位矩阵,λ满足det(B-A1A)=0,t=1,…,m. 证明由于A是对称矩阵,因此一定唯一存在一个正交矩阵QA,使得 QAAQA=4A 其中,a1,…,am是A的特征值.因为A是正定矩阵,所以它所有的特征值都是正的.记微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 并引入 m × m 矩阵 B(xΣ) =   b11(xΣ) · · · b1m(xΣ) . . . . . . bm1(xΣ) · · · bmm(xΣ)   = −DΣT(xΣ) · Dn(xΣ) ∈ R m×m, 称为曲面 Σ(xΣ) 的第二基本形式. 性质 1.3 (曲面的第二基本形式的对称性). 曲面的第二基本形式矩阵 B 是对称矩阵. 证明 考虑到 bij (xΣ) = ( ∂gj ∂xi Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂ 2Σ ∂xi Σ ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n(xΣ) ) Rm+1 = bji(xΣ), 所以曲面第二基本形式 B 是对称矩阵. 1.3 曲面的 Gauss 曲率与平均曲率 首先引入线性代数中一个重要结论. 引理 1.4 (同时对角化). 设有对称正定矩阵 A ∈ R m×m 和对称矩阵 B ∈ R m×m, 则一定唯 一存在一个非奇异的矩阵 S ∈ R m×m 满足    S TAS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 式中, Im 为 m 阶单位矩阵, λi 满足 det(B − λiA) = 0, i = 1, · · · , m. 证明 由于 A 是对称矩阵, 因此一定唯一存在一个正交矩阵 QA, 使得 QT AAQA = ΛA =   a1 . . . am   , 其中, a1, · · · , am 是 A 的特征值. 因为 A 是正定矩阵, 所以它所有的特征值都是正的. 记 Λ 1 2 A =   a 1 2 1 . . . a 1 2m   , 4