高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 则有QAQA=A3A,即 (1)-QAAQ4(11)-1=Im, 因此令SA=QA(A3)-1,有SAAA=Im 令B=SBSA,因为B是对称矩阵,所以B也是对称矩阵,而且唯一存在一个正交矩阵 QB,满足 QBBQB=AB 式中,A1…,Mm是B的特征值,满足det(B-MIm)=0,i=1,…,m.也就是 QBSABSAQB 此处令S=SAQB=QA(A4)-1QB,即有 s BS= 而且 STAS=QBSAASAQB=QRImQB=I λ满足 det(B-AiIm)=det(SABSA-AiSAASa)=det(SA(B-XiA)SA=0, 即det(B-AA)=0. 定义1.5(曲面Gaus曲率及平均曲率).根据同时对角化定理,曲面第一基本形式G是对 称正定矩阵,曲面第二基本形式B是对称矩阵,因此唯一存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 SGS=Im SBS 此处入满足det(B-入G)=0,讠=1,…,m.由此,可作 KG=lA=det(- B) det B det g H=∑A=t(G1B 式中KG称为 Gauss曲率,H称为平均曲率微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 则有 QT AAQA = Λ 1 2 AΛ 1 2 A , 即 (Λ 1 2 A ) −1QT AAQA(Λ 1 2 A ) −1 = Im, 因此令 SA = QA(Λ 1 2 A ) −1 , 有 S T AASA = Im. 令 Be = S T ABSA, 因为 B 是对称矩阵, 所以 Be 也是对称矩阵, 而且唯一存在一个正交矩阵 QB, 满足 QT BBQe B = ΛBe =   λ1 . . . λm   , 式中, λ1, · · · , λm 是 Be 的特征值, 满足 det(Be − λiIm) = 0, i = 1, · · · , m. 也就是 QT BS T ABSAQB =   λ1 . . . λm   . 此处令 S = SAQB = QA(Λ 1 2 A ) −1QB, 即有 S TBS =   λ1 . . . λm   , 而且 S TAS = QT BS T AASAQB = QT BImQB = Im. λi 满足 det(Be − λiIm) = det(S T ABSA − λiS T AASA) = det[S T A(B − λiA)SA] = 0, 即 det(B − λiA) = 0. 定义 1.5 (曲面 Gauss 曲率及平均曲率). 根据同时对角化定理, 曲面第一基本形式 G 是对 称正定矩阵, 曲面第二基本形式 B 是对称矩阵, 因此唯一存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得    S TGS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 此处 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 由此, 可作    KG = ∏m i=1 λi = det(G−1B) = det B det G H = ∑m i=1 λi = tr(G−1B) , 式中 KG 称为 Gauss 曲率, H 称为平均曲率. 5