高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 14曲面的局部标架及其运动方程 所有的切向量和法向量{g1}1U{n}构成Rm+1空间中一个基,可称为曲面上局部协变基 按对偶关系,一定唯一存在曲面上局部逆变基{g2]}+1,满足 =68或者 9 由此,由(91m+1,9mn+1)2m+1=1,9m+1=n,有gm+=n.由(9nm+1,9)2m+1=(n,g)2m+1= 0,可得g2也是切空间TE的元素,满足(g,9)gm+1= 引入9=(929)2m+1,y=(g,9)gm+,则有 91=(91,91)m+19+(g;,m)m+1n=99 (9, n) 99 亦即,切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换 以下研究协变基向量沿坐标线的变化率,有 (x)鱼1n9(+412)-91(m) Ox1(x),9 (T∑ 此处引入曲面上的 Christoffel符号,定义为 Rm+ 式中{Fkk=1称为曲面的第一类 Christoffel符号,{Hk=1为曲面的第二类 Christoffel 符号 因此对于切向量,有 9+bin=link+ bi 同样地,研究法向量沿坐标线的变化率,有 F(a)cte n(as+ Aii)-n(az) an E),9r微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 1.4 曲面的局部标架及其运动方程 所有的切向量和法向量 {gi} m i=1 ∪ {n} 构成 R m+1 空间中一个基, 可称为曲面上局部协变基. 按对偶关系, 一定唯一存在曲面上局部逆变基{g α} m+1 α=1 , 满足 ( gα, g β ) Rm+1 = δ β α 或者   g T 1 . . . g T m+1   ( g 1 · · · g m+1) = Im+1, 由此, 由 ( gm+1, g m+1) Rm+1 = 1, gm+1 = n, 有 g m+1 = n. 由 ( gm+1, g i ) Rm+1 = ( n, g i ) Rm+1 = 0, 可得 g i 也是切空间 TxΣ 的元素, 满足 ( g i , gj ) Rm+1 = δ i j . 引入 gij = ( gi , gj ) Rm+1 , g ij = ( g i , g j ) Rm+1 , 则有 gi = ( gi , gj ) Rm+1 g j + (gi , n)Rm+1 n = gijg j , g i = ( g i , g j ) Rm+1 gj + ( g i , n ) Rm+1 n = g ijgj . 亦即, 切空间中的两组基可按照上式关系进行相互转换. 以下研究协变基向量沿坐标线的变化率，有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R gi (xΣ + λij ) − gi (xΣ) λ = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n. 此处引入曲面上的 Christoffel 符号, 定义为 Γij,k = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 , Γk ij = ( ∂gi ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 . 式中 {Γij,k} m i,j,k=1 称为曲面的第一类 Christoffel 符号, {Γ k ij} m i,j,k=1 为曲面的第二类 Christoffel 符号. 因此对于切向量, 有 ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γij,kg k + bijn = Γ k ijgk + bijn. 同样地, 研究法向量沿坐标线的变化率, 有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) , lim λ→0∈R n(xΣ + λij ) − n(xΣ) λ = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 g k + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 gk + ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 n, 6