高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 式中 2, (∑),9k Rm+ ax (cx),9 Rm+ia(cs),gtgt 因此对于法向量有 (as)=-bje 6i9k 综上,协变基标架的标架运动方程为 (as)=risk+biin=Ti g+bi (as)=-bjk 同理可得,逆变基标架的标架运动方程为 Tik9"+bi n (x)=-bk92=-s 1.5曲面的法截线与主法截线 15.1截线曲率 引理1.5.对于曲面∑(xx)上的任意参数曲线r(t),有如下关系成立: (t),n(t) Tx∑ 式中定义了切空间中的内积 (E, n)T,E=bij5'T, V5=sgi, n=r9 m+1 n(t)为曲面∑(xx)在该点处的法向量 证明因为曲线r(t)在曲面∑(xx)上,所以 dt t)=r(t)=i(t)g(xx(1)∈Tx∑ ()=2(9(s()+2()2()ax (tg(xx(t)+i2(t)iy()rgk(x()+b;n(mx(t) 由此将有 (2.)2=(a)2(1 Tx∑微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 式中 ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), n ) Rm+1 = 1 2 ∂ ∂xj Σ (n, n)Rm+1 = 0; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gk ) Rm+1 = ∂ ∂xj Σ (n, gk )Rm+1 − ( n, ∂gk ∂xj Σ (xΣ) ) Rm+1 = −bjk; ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), g k ) Rm+1 = ( ∂n ∂xj Σ (xΣ), gktgt ) Rm+1 = −g ktbjt = −b k j . 因此对于法向量有 ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 综上, 协变基标架的标架运动方程为    ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 同理可得, 逆变基标架的标架运动方程为    ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 1.5 曲面的法截线与主法截线 1.5.1 截线曲率 引理 1.5. 对于曲面 Σ(xΣ) 上的任意参数曲线 r(t), 有如下关系成立: ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ TxΣ = ( d 2r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 , 式中定义了切空间中的内积 ⟨ξ, η⟩TxΣ = bijξ i η j , ∀ ξ = ξ i gi , η = η j gj ∈ R m+1 , nΣ(t) 为曲面 Σ(xΣ) 在该点处的法向量. 证明 因为曲线 r(t) 在曲面 Σ(xΣ) 上, 所以 dr dt (t) = r˙(t) = ˙x i (t)gi (xΣ(t)) ∈ TxΣ; d 2r dt 2 (t) = ¨x i (t)gi (xΣ(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t) ∂gi ∂xj (xΣ) = ¨x i (t)gi (xΣ(t)) + ˙x i (t) ˙x j (t)[Γ k ijgk (xΣ(t)) + bijn(xΣ(t))]. 由此将有 ( d 2r dt 2 (t), nΣ(t) ) Rm+1 = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) = ⟨ dr dt (t), dr dt (t) ⟩ TxΣ . 7