高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 根据m+1维空间中曲线的 Frenet标架,截线的切向量可以表示为r(s)=x-(s)=r'(s), 现s为弧长参数.法向量满足 式中,A(9)=p()m+为由线的曲率,n()=p(1m+为曲线的法向量 注意到 r()=r()d=P(ol2mh=P(om+9(a(O) 所以 r'(s),r'(s)r:x= big (as)i (t)i (t) bi (ay)i(t)i (t) Ir(t)2m+1 pg(ax)ip(t).iq(t) (r"(s),nx)2m+1=k(s)(m1(s,nx)m+1=h(s)co(n,mx) 式中(n,mx)表示曲线法向量n与曲面法向量nx之间的夹角.根据引理15可得 K(s(t))cos(n, ny)- big(ag)i(t)i(t) gpq(ay)ip(t)i(t) 截线曲率即为 k(s(t) bii(ay)i(t)i(t) cos(n, ny)gpg(ax)ip(t)iq(t) 1.5.2法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面(法截面)相交截得的曲线.在这种情况下,cos(n,nx) ±1,因此法截线曲率可以表示为 )i(t)i3 K(0)=+9E1P()x( 式右端的分子和分母都是二次型,于是引入 法截线曲率可以表示为 (s(t)=± E(t)B(as(t))s(t) ∈t(t)G(xs(t)∈(t) 根据同时对角化定理,一定存在一个非奇异矩阵S∈Rmxm,使得 SGS=I S BS微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 根据 m + 1 维空间中曲线的 Frenet 标架, 截线的切向量可以表示为 τ (s) = dr ds (s) = r ′ (s), 现 s 为弧长参数. 法向量满足 τ ′ (s) = r ′′(s) = κ(s)n(s), 式中, κ(s) = |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的曲率, n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|Rm+1 为曲线的法向量. 注意到 r ′ (s) = r˙(t) dt ds = r˙(t) |r˙(t)|Rm+1 = x˙ i (t) |r˙(t)|Rm+1 gi (xΣ(t)), 所以 ⟨r ′ (s), r ′ (s)⟩TxΣ = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) |r˙(t)| 2 Rm+1 = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) , ( r ′′(s), nΣ ) Rm+1 = κ(s) (n(s), nΣ)Rm+1 = κ(s) cos(n, nΣ), 式中 (n, nΣ) 表示曲线法向量 n 与曲面法向量 nΣ 之间的夹角. 根据引理1.5可得 κ(s(t)) cos(n, nΣ) = bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) , 截线曲率即为 κ(s(t)) = 1 cos(n, nΣ) bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) . 1.5.2 法截线曲率 法截线是曲面与通过曲面某点法线的平面 (法截面) 相交截得的曲线. 在这种情况下, cos(n, nΣ) = ±1, 因此法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± bij (xΣ) ˙x i (t) ˙x j (t) gpq(xΣ) ˙x p(t) ˙x q(t) . 上式右端的分子和分母都是二次型, 于是引入 ξ(t) =   x˙ 1 (t) . . . x˙ m(t)   , 则法截线曲率可以表示为 κ(s(t)) = ± ξ T(t)B(xΣ(t))ξ(t) ξ T(t)G(xΣ(t))ξ(t) . 根据同时对角化定理, 一定存在一个非奇异矩阵 S ∈ R m×m, 使得    S TGS = Im, S TBS =   λ1 . . . λm   . 8