高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 其中λ满足det(B-AG)=0,=1,…,m.所以有 ∈(S-1)T (s(t) E(t 如果令￡(t)=S-E(t)= 则法截线曲率可以表示为简单的形式 (s()=±M((O)2 k(t)2 如果取5()=1(第i行),则有6(()=士A.此时()=s()=S(),即为矩阵S的第 切平面 相对于主方向e;的 相对于主方向e;的 主法截线 ∑ 图3:主法截线示意 曲率为κ(s(t)=土λ的法截线称为主法截线.以S的各个列向量{S}1分别作为切空 间局部协变基{g}1的坐标,则确定了一个切空间的单位正交基{ea}m1,称为主方向.具体可 表述如下微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 其中 λi 满足 det(B − λiG) = 0, i = 1, · · · , m. 所以有 κ(s(t)) = ± ξ T(S −1 ) T   λ1 . . . λm   S −1 ξ ξ T(S −1 ) TImS −1 ξ . 如果令 eξ(t) = S −1 ξ(t) =   ξe1 (t) . . . ξem(t)  , 则法截线曲率可以表示为简单的形式 κ(s(t)) = ± λi(ξei (t))2 |eξ(t)| 2 R2 . 如果取 eξ(t) =   0 . . . 1 . . . 0   (第i行), 则有 κ(s(t)) = ±λi . 此时 ξ(t) = Seξ(t) = Si(t), 即为矩阵 S 的第 i 列. X1 Xm Xm+1 O 切平面 Σ ei ej nΣ 相对于主方向 ei 的 主法截线 相对于主方向 ej 的 主法截线 图 3: 主法截线示意 曲率为 κ(s(t)) = ±λi 的法截线称为主法截线. 以 S 的各个列向量 {Si} m i=1 分别作为切空 间局部协变基 {gi} m i=1 的坐标，则确定了一个切空间的单位正交基 {ei} m i=1, 称为主方向. 具体可 表述如下 ( e1 · · · em ) = ( g1 · · · gm ) S. 9