高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 由于 因此(2…cn)是正交矩阵即(e}m1是切空间的一个单位正交基 nΣ同主方向ε;确定的法截面截取曲面∑的截线为一条主法截线,其曲率为±λ.主方向 及主法截线的关系,如图3所示 应用事例 21二维 Monge型曲面的 Gauss曲率及平均曲率 设R3中的二维 Monge型曲面具有以下的向量值映照表示 ∑(x,y):Dny3→∑(x,y)= f(, y) 有 DE(x,y)=01 99)(a0= Df(a, y) fa fy 所以有 gii)=(DE)TDE=I2+(Df)Df=/+f2 ffy f1+f2 法向量为 1×92 +2 计算曲面第二基本量,即 bi(oai,n 1++(,)(x,y) 另可得 +-f 1+f+f(-11+ 故可有 (9)=()(x) f2-fafy (1+f+f2)(-ff1+f (1+fy)frr-frfy fry(1+f)fry-frfy, (1+f2+2)3(1+52)fry-fifyfrr(1+f2)fy-frfyfay微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 由于 ( e1 · · · em )T ( e1 · · · em ) = S TGS = Im, 因此 ( e1 · · · em ) 是正交矩阵, 即 {ei} m i=1 是切空间的一个单位正交基. nΣ 同主方向 ei 确定的法截面截取曲面 Σ 的截线为一条主法截线, 其曲率为 ±λi . 主方向 及主法截线的关系, 如图3所示. 2 应用事例 2.1 二维 Monge 型曲面的 Gauss 曲率及平均曲率 设 R 3 中的二维 Monge 型曲面具有以下的向量值映照表示: Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) =   x y f(x, y)   ∈ R 3 , 有 DΣ(x, y) =   1 0 0 1 fx fy   = ( g1 g2 ) (x, y) = ( I2 Df(x, y) ) . 所以有 ( gij) = (DΣ) TDΣ = I2 + (Df) TDf = ( 1 + f 2 x fxfy fxfy 1 + f 2 y ) , 法向量为 n = 1 |g1 × g2 |R3 g1 × g2 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   −fx −fy 1   . 计算曲面第二基本量, 即 bij , ( ∂gi ∂xi , n ) R3 = 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y ( fxx fxy fxy fyy) (x, y), 另可得 ( g ij) = ( gij)−1 = 1 1 + f 2 x + f 2 y ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) , 故可有 ( b i j ) = ( g ik) (bkj) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( 1 + f 2 y −fxfy −fxfy 1 + f 2 x ) (fxx fxy fxy fyy) = 1 (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 ( (1 + f 2 y )fxx − fxfyfxy (1 + f 2 y )fxy − fxfyfyy (1 + f 2 x )fxy − fxfyfxx (1 + f 2 x )fyy − fxfyfxy) . 10