高维微分学——曲面向量值映照 谢锡麟 综上,可有 det det(gij h= bs (1+f2)f2z+(1+f2)fyy-2f2fy fa (1+是+f) 对于柱面,其向量值映照表示为 E(,y): Dry +∑(x,y)=y f() 此情形下,有 fy =0, fry fy 因此可得柱面的曲率计算式为 KG=0 H (1+f2) 对于平均曲率的计算,也可根据如下关系式获得 5n=g·m()+g 式中{x2}2=1为曲面∑的一般参数.现已有 1+f2+ (x,y) 01 +f2+f2 fr fy 是+f 直接求其逆矩阵,即 1+f2 f2+f2 +1+层+ 1+ +f2+f2 1+f2+f2 1+f2+f2 丹+1+f+√+层+f微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲面向量值映照 谢锡麟 综上, 可有 KG = det ( bij) det ( gij) = fxxfyy − f 2 xy (1 + f 2 x + f 2 y ) 2 , H = b s s = (1 + f 2 y )fxx + (1 + f 2 x )fyy − 2fxfyfxy (1 + f 2 x + f 2 y ) 3 2 . 对于柱面, 其向量值映照表示为 Σ(x, y) : Dxy ∋ ( x y ) 7→ Σ(x, y) =   x y f(x)   ∈ R 3 . 此情形下, 有 fy = 0, fxy = fyy = 0, 因此可得柱面的曲率计算式为 KG = 0, H = fxx (1 + f 2 x ) 3 2 . 对于平均曲率的计算, 也可根据如下关系式获得. −b s s = Σ ∇ · n = g 1 · ∂n ∂x1 (x) + g 2 · ∂n ∂x2 (x), 式中 {x i} 2 i=1 为曲面 Σ 的一般参数. 现已有 ( g1 g2 n ) (x, y) =   1 0 −√ fx 1 + f 2 x + f 2 y 0 1 − fy √ 1 + f 2 x + f 2 y fx fy 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   , 直接求其逆矩阵, 即 ( g1 g2 n )−1 =   1 + f 2 y 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y fx 1 + f 2 x + f 2 y −fxfy 1 + f 2 x + f 2 y 1 + f 2 x 1 + f 2 x + f 2 y fy 1 + f 2 x + f 2 y √ −fx 1 + f 2 x + f 2 y −fy √ 1 + f 2 x + f 2 y 1 √ 1 + f 2 x + f 2 y   , 11