ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Chapter3复变函数级数 Abstract::简介解析函数的性质,尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数( power series)的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类 Motivation:引论中讲过,一方面,物理学家力求∑a(=-b)(将此sum 表达为一个简单的函数);但另一方面,有些物理上的表示(例如求解方程和方 程的解等)相当复杂,人们不得不反过来做级数展开。有趣的是,大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了(物理误差范围以内)。这不但对收敛快的级数 是如此,况且对发散级数尤要 cut off!-多项式展开。更有趣的是,这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论,物理理论和实验的核心目标, see part II)。 级数复习常数项级数:S=∑1 函数项级数: ∑=”(2<1),几何级数 1-zn=0 e=∑n(<∞),指数级数: SIn2= ∑(-1) 三角函数级数。 c(-)2n( (2n) 般级数 解析项级数:1.一般级数,2.幂级数 问题:设有序列1 111 23·4…,问S==?,Key: divergence发散 pn-41且S==m(n+1),S= lim s=im(n+1),这是lg发散。 而 (-1) ∑上-收敛,(P>) convergence,且 5(p)绝对收敛。<(P)称为 Riemann zeta function.psl:≤,而∑一发散(调和级数,和谐级数?)。Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 3 复变函数级数 Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent 级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。 Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求 ( )k k k a z b − （将此 sum 表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方 程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数 是如此，况且对发散级数尤要 cut off！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。 级数复习: 常数项级数： 1 1 . n S n    = =  函数项级数： ( ) 0 1 z 1 , 1 n n z z  = =  −  几何级数； ( ) 0 z , ! n z n z e n  = =    指数级数； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0 sin 1 z , 2 1 ! cos 1 z , 2 ! n n n n n n z z n z z n  + =  = = −   + = −     三角函数级数。 一般级数：…… 解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。 问题：设有序列 111 1, , , , 234 ，问 1 1 ? n S n  = = =  ，Key：divergence 发散. lim 1, n 1 n → n = − 且 ( ) 1 1 d ln 1 , n n x S n x + = = +  lim limln 1 , n ( ) n n S S n → → = = + 这是 log 发散。 而 ( ) 1 1 1 n p n n −  = −  收敛，( p 1) convergence，且 ( ) 1 1 p n p n   =  = 绝对收敛。 ( p) 称为 Riemann zeta function. p 1： 1 1 p n n  ，而 1 1 n n  =  发散（调和级数，和谐级数？）