其中G0=1Gx),由(12.a)、(12.b)知，G、G在〔0,1)上有界。 dx2 对于Sturm一Livioulle?算子A,由文献〔4)，.有 引理1.线性微分算子A是L2〔0,1〕上的 (1)自共轭算子， ,(2)闭稠定算子， (3)有可列无穷多个特征值，且至多有有限个为正。 引理2，线性微分算子A是L2(0,1)上某一单参数强连续半群的无穷小母元。 证明：设算子A对应特征值入：的特征函数为e:（i=1,2,…),{e}构成L2(0,1)的一 个完备正交基。 oc 任给V∈L2(0,l),V=,Σa1e i✉1 由引理1，设o=max{:},1:€P。（A),i=1,2,… 则〈AV,V）=,2:Ia:l≤o〈V,V) i=1 取>①，则A∈P。(A) ((I-A)V,V)≥(-o)(V,V) 令(I-A)V=y,代入上式 1y1≥(i-o)IV} ：1I-A)11≤。 1∈p(A) 由Hille-一Yosida定理5)，结论成立。 设A生成的单参数强连续半群为：S(t)=e“,那么，方程(13)的解为： V(t)(o-Gf(G ()-Gf())dr (14) 定理3.设f∈Uaa,则方程(1)的解存在，且表述为： u(t)=eAuo+cebfo ()+(eG-Ae(G)f())dt (15) 证明：将(14)式代入(11)式并分部积分得到： (t)=ccfo ()+(cG-Ac-G)f()d (16) 由(6)、(7)和(10)式知： f)-〔数门 =F(t)u(t)=IF(t)u(t) 因此 fo(t)=〔1,0,0F(t)u(t) )-[80()u6t)-0,P()u） (17) 76其 中 刀 由 、 知 ， 、 ， 在 〔 ， 〕 上有界 。 对 于 一 算子 ， 由文献 〔 〕 ， 有 引理 线性微分算子 是 “ 〔 ， 〕 上的 自共扼算子， 闭稠定算子， 有可列无穷多个特征值 ， 且至 多有有限 个为正 。 引理 线性微分算子 是 “ 。 ， 上某一单参数强连续半群 的无穷小母元 。 证明 设算子 对应特征值久 的特征函数为 ， ， “ · ， 构成 名 。 ， 的 一 个完备正交基 。 ‘ 丫 任给 〔 “ ， ， 刃 艺 · ， 由引理 ， 设 。 林 ， 久， 〔 。 ， 二 ， ，… … 则 ， 》 艺 久 ， 三。 ， 取久 。 ， 则久〔 。 久 一 ， 七 久一 。 ， 》 令 赶 一 二 ， 代入上式 七 久一 。 朋 井 久 一 一 ， 兰十毕 久〔 。 几 一 田 由 一 定理〔 〕 ， 结论成立 。 设 生成的单参数强连续半群 为 二 ’ 人 “ ， · ’ “ 一 “ “ ，， · 一 丫 ， 那么 ， 方程 丫 ’ 、 下 的解为 一 ‘ 丫 丫 定理 。 设 〔 ， 则方程 的解存在 ， 以 一 丁 〔 卜 。 · ‘ 。 且表述为 ‘ ’ 一 ，， 人 ， 一 ‘ ’ 一 ，， 人 下 〕 证 明 将 式代入 式并分部积分 得到 以 。 丁 〔 卜 · ‘ 。 · 卜 · 卜 一 一 · 卜 · ‘ · 〕 · 由 、 和 式知 二 厂 。 ’ 勺 。 、 吸 产 因此 〔 ， ， 、 〕 ‘ 〔 〕 ‘ ，，· ‘ ， 一 〔 “ ， ‘ 〕 ‘ ，，· ‘ ，， 了 尹、夕、厂