将（17)式代入（16)式，得到方程(1)的等价方程： u(t)=ea0+∫(eb(1,0,0]+(enG-Aem-G(0,)} F(t)u(t)d (18) 根据eA、Ae的列紧性c6),设： I(et-wb〔1,0,0)+(et-)aG"-Ae-)AG)〔0，I))F(t)‖≤L (L>0) (19) 则：目un+1-un|≤Lt‖un+1-un‖=eIun+1-un日 其中ε=Lt,当〔0，t)分割为一些小的区间时，e<1,根据毕卡达定理，迭代法收敛， 方程(18)的解存在，且由(15)式表示。 同理，从(18)、(19)两式易于得到： 引理4.若(5)式成立，则方程(1)的解集合有界，容许控制集合U,4有界；且均为弱列 紧集。 定理5，在系统方程(1)和(5)式的约束下，指标泛函(8)式的最优控制是存在的。 证明：取指标泛函(8)式的极小化序列任n,{f}CUa, 由引理4， f.→f,f∈Uab 即：fonW+fo,fb。用→f。 根据eA、Ae·A的列紧性(6)知l: etAbfon中e'bfo' (eAG-AeAG)fpn etAG"-AetAG)fp" 代人（15)式可得： un中u 因为F有界，由(7)式知： fn中f" 又Q(t,x,y)有界，则 un (t,x)Q(t,x,y)un(t,y)u(t,x)Q(t,x,y)u (t,y) 0,o,n)=号∫J:(T,x)Q(T,xy)…(T,y)dxy +号∫J:(t,x)Q(t,x,y)(t,y)dxdt +号∫∫：o2(t,x)dxdt +合∫(rf2)+fw)at=0,o,f） 结论成立 2.2.最优控制律 定义：wx(v)=col〔v(o),v'(o),v(1),v'(1)) 当(5)式中M取足够大时，参照文献〔3)得到系统方程(1)的闭环最优控制律： 77将 式代 人 式 ， 得到方程 · 一 产以 · 。 丁 卜 下 · 〔 下 下 根据 气 卜 ‘ 的列紧性〔 〕 ， 设 ‘ ’ 一 ，， 〔 ， ， 〕 的等价方程 ， 〕 ‘ ’ 一 ‘ ， 人 一 “ 一 ” 人 〔 ， 〕 ‘ 七 一 ，， “ ’ 一 “ 一 ‘ ， 人 〔 ， 〕 ， 三 则 一 。 三 一 。 。 ‘ 一 。 其 中。 二 ， 当 〔 ， 〕 分割为 一些小 的区 间时 ， 。 ， 根据毕卡达定理 ， 迭 代 法 收 敛 ， 方程 的解存在 ， 且 由 式 表示 。 同理 ， 从 、 两 式易于 得到 引理 若 式成立 ， 则方程 的解集合 有界 ， 容许控制集合 有界， 且均为 弱 列 紧 集 。 定理 在系统 方程 和 式 的约束下 ， 指标泛 函 式的最优控制 是 存在 的 。 证 明 取指标泛 函 式的极小化 序列 ， 。 。 ， 由引理 ， 。 工、 ， 任 、 即 工， · ， 工， 。 ， 根据 ’ 人 、 ‘ “ 的列 紧性 〔 〕知 ’ 。 牵 ’ 沙 “ 一 人 ‘ 峥 “ “ 一 ’ 人 ’ 代 入 式可 得 办 因为 有界 ， 由 式知 。 睁 又 ， ， 有界 ， 则 。 ， ， ， 。 ， 一 中 ‘ ， ， ， ， 【 ， ’ 兜 ， 一‘ · ，二 李丁 十 李丁 一 十 令丁 号丁 丁 二 ， ， ， ，· ’ ， ’ 丁 一 ， · ， ， ， 二 、 ， 丁 ‘一 ， 二 ， “ ， ， 结 论成立 最优 控 制 律 定 义 〔 ， 、 ‘ ， 、 ， ‘ 〕 当 式 中 取足 够大 时 ， 参照文 献 〔 〕 得到 系统方 程 的 闭环 最优 控制 律