第10章波动习题解答 72 第10章波动习题解答 10.52两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有 方向与入射波传播方向相反：入射波在原点处振动初相为零，设反 相同的相位，波长0.34m.(1)至少求出三个x数值使得在P点合振动 射波在坐标原点处振动初相为中，固定端反射有半波损失，所以 最强，(2)求出三个x数值使得在P点的合振动最弱。 解：由于两个波源的相位相同， 0-中=癸2π+π，中=-（赞+1）π=-（捌品+）π=-61π.综合 因而二波在P点引起的两个分振动的 E--! 以上考虑，反射波方程为y=10×10-cos2000π(t+卖)-61π] 相位差△=-2π=2π是 x 山 =10×10-4cos2000π(t+哥)-π] (1)当2π=2nπ(n=0,1,2…)时， 合振动最强。取n=0,1,2,得x1-0,X2=入=0.34m,x3=2入=0.68m 10.5.5入射波方程为y=Acos2π（号+），在x=0处的自由端 (2)当2π产=(2n+1)π(n=0,1,2…)时，合振动最弱.取n=0,1,2 反射，求反射波的波方程。无振幅损失。 得x1=入/2=0.17m,x2=3入/2=0.51m,x3=5入/2=0.85m 解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同：反射波传播方 向与入射波相反：由于在x=0处的自由端反射，无半波损失，反射 10.5.3试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而 波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为 振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。 y=Acos2π（号-） 证明：设满足要求的两列平面简谐波的波方程为： 乃=A1cos(o1-kx),月2=A2cos(@t+kx,A1>A y=A cos(@t-kx)+A,cost@t+kx) 10.5.610.5.7图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固 =(A-A +A2)cos(@t-kx)+A cos(@t+kx) 定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。 =(A-A)cos(@1-kx)+A,[cos(@t+kx)+cos(@t-kx)] 解： =(A-A2 )cos(@t-kx)+24,cos kxcosot (应用三角函数公式：cosa+cosB=2cos生cos“) 显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波 方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图1：固定端反射 时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩 10.5.4入射波y=10×10一cos2000m(t-孟】在固定端反射， 余波形映射过去即可，如图2：自由端反射，无半波损失，直接把界 坐标原点与固定端相距0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI) 面后边的波形映射过去即可，如图3。 解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同：反射波传播第10章波动习题解答 72 第10章波动习题解答 10.5.2 两个波源发出横波，振动方向与纸面垂直，两波源具有 相同的相位，波长 0.34m.⑴至少求出三个 x 数值使得在 P 点合振动 最强，⑵求出三个 x 数值使得在 P 点的合振动最弱。 解：由于两个波源的相位相同， 因而二波在 P 点引起的两个分振动的 l P 相位差     l l x x 2 2 ( )  = = − − l-x ⑴当 2 = 2n (n = 0,1,2 x    …）时， 合振动最强。取 n=0,1,2, 得 x1=0, x2=λ=0.34m, x3=2λ=0.68m ⑵当 2 = (2n +1) (n = 0,1,2 x    …）时，合振动最弱。取 n=0,1,2, 得 x1=λ/2=0.17m, x2=3λ/2=0.51m, x3=5λ/2=0.85m 10.5.3 试证明两列频率相同，振动方向相同、传播方向相反而 振幅大小不同的平面简谐波相叠加可形成一驻波与一行波的叠加。 证明；设满足要求的两列平面简谐波的波方程为： A A t k x A k x t A A t k x A t k x t k x A A A t k x A t k x y A t k x A t k x y A t k x y A t k x A A            ( ) cos( ) 2 cos cos ( ) cos( ) [cos( ) cos( )] ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ), cos( ), 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 = − − + = − − + + + − = − + − + + = − + + = − = +  （应用三角函数公式： 2 2 cos cos 2cos cos       + − + = ） 显然，前一项表示一行波，后一项为一驻波 10.5.4 入射波 10 10 cos[2000 ( )] 34 4 x y =  t − −  在固定端反射， 坐标原点与固定端相距 0.51m,写出反射波方程.无振幅损失.(SI) 解：反射波的振幅、频率、波速均与入射波相同；反射波传播 方向与入射波传播方向相反；入射波在原点处振动初相为零，设反 射波在坐标原点处振动初相为φ，固定端反射有半波损失，所以          0 2 , ( 1) ( 1) 61 34/1000 2 4 4 0.51 − = + = − + = − + = −    .综合 以上考虑，反射波方程为 10 10 cos[2000 ( ) 61 ] 34 4 =   + −  − x y t 10 10 cos[2000 ( ) ] 34 4 =   + − − x t 10.5.5 入射波方程为 cos2 ( )   x T t y = A + ，在 x=0 处的自由端 反射，求反射波的波方程。无振幅损失。 解：反射波的振幅、周期、波长与入射波相同；反射波传播方 向与入射波相反；由于在 x=0 处的自由端反射，无半波损失，反射 波与入射波在原点的初相相同。综合以上考虑，反射波方程为 cos2 ( )   x T t y = A − 10.5.6 10.5.7 图表示某一瞬时入射波的波形图，分别画出在固 定端反射和在自由端反射时，反射波的波形图，无振幅损失。 解： 方法：可先把界面后边的入射波补画上去，如图 1；固定端反射 时，损失半个波长，可把界面后边的波形去掉半个波长，然后把剩 余波形映射过去即可，如图 2；自由端反射，无半波损失，直接把界 面后边的波形映射过去即可，如图 3。 x 1 2 3